Differentiering af langt udtryk

Benyt først reglen for differentiation af et produkt, og differentier så hver faktor i produktet.

Der er nu ikke meget "Videregående" i denne opgave. Der benyttes grundlæggende regler for differentiation af funktioner.

Lad u = ln(x)² - 5x + 4

f(x) = u·(u + 2) = u² + 2u

#2

Efter den sidste linie skal man så benytte, at u er en sammensat funktion af x .

# 0

Opgaven er misforståelig -

Er fx. første led ln(x²) eller er det (ln(x))²

Brug parenteser rigtigt, så der ikke er tvivl om, hvad der menes      ;-)

Andersen11: Tak for svar.

Helt konkret er jeg stadig i tvivl (får et forkert resultat i enden).

Jeg starter med produktreglen - og skal derfor starte med at differentiere (ln(x)²-5x+4). Men netop denne funktion indeholder jo en anden sammensat funktion. Hvordan kan jeg lade denne være, hvis jeg skal differentiere produktet først, og den sammensatte funktion bagefter? Umiddelbart ville mit bud være: 2ln(x)*1/x-5

Jeg vedlægger min udregning som vedhæftet fil (nemmere og mere overskuelig end at skrive den ind her). I må meget gerne rette mig hvor jeg laver fejl.

Krabasken: ikke ln til x kvadreret, men kvadraten af ln til x. Altså (ln(x))^2

Okay - that's better    ;-)

f(x)   = (ln(x)²-5x+4) · (ln(x)²-5x+6)

        =            n           ·      m

f'(x)  =  n'·m + n·m'

Det tager sindsyg lang tid

#5

Det er ikke differentieret korrekt . Du benytter en anden funktion end den, der er angivet her i #0.

Vi har:

f(x) = (ln(x)² -5x +4) · (ln(x)² -5x +6) ⇒

f '(x) = (2·ln(x)/x -5) · (ln(x)² -5x +6) + (ln(x)² -5x +4) · (2·ln(x)/x -5)

        = (2·ln(x)/x -5) · (2·ln(x)² -10x +10)

Det er pænt faktoriseret, så man kan se på løsninger til ligningen f '(x) = 0 .

YesMe: tak for dit svar, men jeg er allerede klar over produktreglen. Jeg er bare i tvivl om hvordan jeg håndterer det med de(n) sammensatte funktion(er) (ln(x))²

:)

Andersen11: ja for fanden :) havde skrevet en fejl i #0. Funktionen i dokumentet er den korrekte

med andre ord: f(x) = ((ln(x))²-5*ln(x)+4) * ((ln(x))²-5*ln(x)+6)

beklager!

de sene timer sætter sine præg! fandt nogle fejl i dokumentet... her er det rettet

#12

OK. Så får man

f(x) = (ln(x)² -5ln(x) +4) · (ln(x)² -5ln(x) +6) ⇒

f '(x) = (2·ln(x)/x -5/x) · (ln(x)² -5ln(x) +6) + (2·ln(x)/x -5/x) · (ln(x)² -5ln(x) +4)

        = (2·ln(x)/x -5/x) · (2·ln(x)² -10·ln(x) +10)

        = 2·(2·ln(x) -5) · (ln(x)² -5·ln(x) +5) / x

Der er ingen grund til at gange det mere ud, hvis man skal benytte det til at løse ligningen f '(x) = 0 .

#13

Fordelen ved udtrykket i #14 er, at man umiddelbart kan løse ligningen f '(x) = 0, idet nulreglen giver to ligninger i ln(x) .

#14

Mange tak. Den afledte funktion skal dog ikke bruges til at løse ligningen f'(x)=0, men mon ikke udtrykket er simpelt nok til at score fuldt point til en eksamen...

Det er sjovt du nævner det med at finde rødderne i polynomiet! Du lyder til at have helt styr på det, så tillad mig at spørge om noget andet.

Jeg har funktionen g(x)=(x²-5x+4)(x²-5x+6). Opgaven lyder på at jeg skal løse ligningen f(x)=0. Hvordan faktoriserer jeg denne funktion med henblik på at aflæse rødderne?

#16

Funktionen er jo allerede faktoriseret i to 2.-gradspolynomier. Rødderne i g(x) findes som foreningsmængden af rødderne i de to 2.-gradspolynomier. Brug nulreglen til at indse det.

Hvis polynomiet kaldes g(x), skal man sikkert løse ligningen g(x) = 0 , ikke f(x) = 0 .

#17.

Jeg har prøvet at løse opgaven:

g(x)=(x²-5x+4)(x²-5x+6)=(x-1)(x-4)(x-2)(x-3)

Er rødderne så hhv. -1, -4, -2, -3?

I så fald er det meget nemmere end jeg troede :) Så det ville være en fin afslutning på fredag aften!

Rettelse! Røddere er selvfølgelig hhv, 1, 2, 3 og 4, ikke sandt (fortegnsfejl!)

#19

Ja, det er helt korrekt (svaret i #19).