Skæring mellem linje og plan

I rumgeometri kan en linies forhold til en plan deles i følgende tilfælde:

1) Hvis liniens retningsvketor er vinkelret på planens normalvektor, har linien enten ingen punkter fælles med plane, eller linien ligger helt i planen.

2) Hvis liniens retningsvektor ikke er vinkelret på planens normalvektor, skærer linien planen i netop eet punkt.

Man finder mulige skæringspunkter ved at indsætte et punkt på linien givet ved en parameterværdi i planens ligning. Dette giver en ligning i parameteren, og en eller flere mulige løsninger er da parameterværdier for liniens skæringspunkt(er) med planen.

glemte lige at skrive det var et mundtlig eksamens spørgsmål

Du stiller ligningerne op for planet og linjen og finder løsningen på de 2 ligninger med 2 ubekendte.

Altså først parametriserer du linjen som i at x = A_x+ B_xt og også for y og z.

Således har du:

x = A_x+ B_xt

y = A_y+B_yt

z = A_z+B_zt

Så skriver du planen som x,y,z og sætter de ovenstående ind, dermed har du et t du kan isolere og sætte ind i ovenstående igen for at finde skæringspunktet (x,y,z)

#3 det forstår jeg ikke noget af?

#4

Et punkt P(x,y,z) på linien har formen

OP = OP₀ + t·r , t ∈ R

hvor P₀ er et punkt på linien, og r er en retningsvektor for linien.

Planens ligning har formen 

Q₀P • n = 0 ,

hvor Q₀ er et fast punkt i planen, og P er et generelt punkt i planen .

Man finder derfor et skæringspunkt mellem linien og planen ved at søge efter punkter P på linien, der også opfylder planens ligning, dvs. punkter P, der opfylder

Q₀P • n = (Q₀O + OP) • n = Q₀O•n + (OP₀ + t·r)•n = 0 , dvs

t·r•n = (-OP₀ - Q₀O)•n = -Q₀P₀•n , eller , hvis r•n ≠ 0,

t = P₀Q₀•n / (r•n)

skal man også illustrere det til eksamen? Jeg prøver at gøre det nu men ved ikke helt hvordan.

Ingen kommentar?... det kun lige det sidste jeg har et problem med.

#6

Det er da altid en god ide at lave en skitse, en perspektivisk tegning med en plan og en ret linie, hvor man indtegner normalvektor og retningsvektor.