Opgave 14, STX, matematik A

Se https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1197928&page=2 #36

Hvad forstår du ikke her?

Man har differentialligningen

dh/dt = 0,045·(5,24/0,045 - h) = -0,045·(h - 1048/9)

dvs

d(h - 1048/9)/dt = -0,045·(h - 1048/9) ,

dvs en differentialligning af formen

dy/dt = -a·y ,

med løsningen

y(t) = c·e^-at ,

hvor y(t) = h(t) - 1048/9 , og a = 0,045 .

Jeg forstår ikke hvad du gør her:

dh/dt = 0,045·(5,24/0,045 - h) = -0,045·(h - 1048/9)

dvs

d(h - 1048/9)/dt = -0,045·(h - 1048/9)

Sætter du bare y = (h - 1048/9)?

Jeg kan godt se, at det passer, således at du kan bruge løsningsformlen.

Desuden kan jeg heller ikke se, hvor du separerer de variable. Jeg er dog heller ikke så fortrolig med metoden, da den ikke er pensum.

#2

Hvis man lægger en konstant til en funktion, har denne funktion samme differentialkvotient som den oprindelige funktion. Derfor er

dh/dt = d(h - 1048/9)/dt ,

og sætter man så y = h - 1048/9 , har ligningen så formen

dy/dt = -0,045·y .

Den oprindelige ligning

dh/dt = 5,24 - 0,045·h

har formen

dh/dt = b + a·h

og mange har lært den færdige løsningsformel for denne differentialligning.

Nå okay. Nu ser jeg lyset i dine udregninger. Jeg har nemlig selv lært løsningsformlen til en differentialligning af typen

y' = b - ay

den er nemlig

y = b/a + c*e^-ax

Men jeg kan se, at du bare prøver at forsimple udtrykket så vi får en differentialligning af typen

y' = k*y

som har en endnu nemmere løsningsformel, nemlig den du angiver.

#5

Det er helt korrekt. Hvis jeg ikke kan huske en færdig løsningsformel som her, er det ofte hurtigere for mig at løse ligningen igen end at begynde at slå formlen op et sted.

Mange tak.