Matematik

MEGET svær mat opgave... men forhåbentlig er det kun mig der mener det...

31. august 2005 af Georgia (Slettet)

Hvis der er en i et brand dejligt matematik humør, der lige har lyst til at regne lidt, så har jeg en opgave jeg MEGET godt kunne bruge lidt (faktisk meget) hjælp til:

Om funktionen f gælder, at der findes konstanter a ikke lig 0 og b, så f''(x)=ax+b

1) GRafen for f har en vendetangent i (1,0). Udtryk b ved a

2) Grafen for f har et ekstremum for x=0. Vis, at grafen også har et ekstremum i x=2

3) Vendetangenten har hældningskoefficienten 3. Bestem a, og vis a f'(x)=-3x^2+6x

4) Angiv en forskrift for f, og løs ligningen f(x)=0

5) Vis endelig, at grafen er symmetrisk om (1,0)

Hvis der er en der kan finde ud af at regne opgaverne kunne det virkelig være skønt! Tak :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
31. august 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Jeg skulle da nok mene, at jeg kan hjælpe dig, men har du selv gjort dig nogle overvejelser om, hvordan du kan gribe opgaven an?

Svar #2
31. august 2005 af Georgia (Slettet)

Selvfølgelig :) Men kan kun finde ud af den første... HAr glemt alt om ekstremum, vendetangenter osv. så er lidt lost.. men her er den første

f''(x)=ax+b
f'(x)=½ax^2+bx+k
f(x)=1/6ax^3+½bx^2+kx+h

1)
f''(x0)=0 <=> a+b=0 <=> b=-a

Brugbart svar (0)

Svar #3
31. august 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Okay, lad os starte med 2), og hvis så må vi jo se, om der skal flere hints til :-)

2)
Som du ganske rigtigt skriver i #1, er

f'(x) = a/2x^2+bx+c,

men eftersom f har ekstremum for x = 0, er det velkendt, at f'(0)=0. Dette er kun opfyldt for c = 0, så altså er

f'(x) = a/2x^2+bx.

Dette giver, at

f'(2) = 2a+2b,

men eftersom a = -b, ser vi at f'(2) = 0, hvilket betyder, at f har ekstremum for x = 2.

Prøv nu, om du så kan komme videre med de andre, ellers bare skriv igen.

Svar #4
31. august 2005 af Georgia (Slettet)

Så går jeg så lidt død igen.. a=3 for vendetangenten, men hvilket f skal jeg så finde a for... og kan desværre heller ikke se hvordan jeg skal vise at f'(x)=-3x^2+6x
...har virkelig svært ved at forstå denne her opg som du jo nok kan se

Brugbart svar (0)

Svar #5
31. august 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Bare rolig, ingen panik :-)

3)
Lad os starte med at bruge resultatet fra 1) til at omskrive f'(x). Vi har, at a = -b, så

f'(x) = a/2x^2-ax = a/2x(x-2).

Vi får nu at vide, at hældningskoefficienten i (1,0) er 3, så vi har altså

f'(1) = 3 =>
a/2*1(1-2) = 3 =>
a = -6.

Indsætter vi dette i ovenstående, fås

f'(x) = (-6)/2x^2-(-6)x = -3x^2+6x.

Med hensyn til 4), brug da igen, at f går gennem punktet (1,0) til at bestemme integrationskonstanten. Da 1 er rod i f, kan du nu faktorisere f ved brug af polynomiers division.

Svar #6
31. august 2005 af Georgia (Slettet)

Synes det blir lidt noget rod...

f(x)=1/6ax^3+½bx^2+kx+h

f(1)=(1/6)a*1^3+½*-a*1^2+k*1+h
=(1/6)a-½a+k+h
=-1/3a+k+h

!?!?! Det er vidst ikke helt rigtig det jeg har gang i...

Brugbart svar (0)

Svar #7
31. august 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Fra 3) har vi, at f'(x) = -3x^2+6x, så prøv at intgrer det. Integrationskonstanten finder du som sagt ved at indsætte punktet (1,0), som grafen for f jo ifølge 1) går igennem.

Brugbart svar (0)

Svar #8
31. august 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#7: intgrer -> integrer.

Jeg bliver desværre nødt til at smutte for i aften, så nu må andre tage over :-)

Svar #9
31. august 2005 af Georgia (Slettet)

1000 tak for hjælpen.. kan godt se den ikke var SÅ svær.. skulle bare lige ha ideen/erne.. hehe.. :)

Skriv et svar til: MEGET svær mat opgave... men forhåbentlig er det kun mig der mener det...

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.