integralregning: bestemmelse af øvre grænse

du har lavet en fortegnsfejl,
F(x)=e^x+e^(-x)
e^(a)+e^(-a)-(e^(0)+e^(-0))=8
e^(a)+e^(-a)-1-1=8
e^(a)+e^(-a)=10

Hvordan du lige isolere a, kan jeg ikke lige gennemskue

e^(a)+e^(-a)=10
<=>
e^a+1/(e^a)=10
<=>
(e^a)^2+1=10*e^a
<=>
(e^a)^2+10*e^a+1=0.

...som er en andengradsligning med e^a som ubekendt.

Tak for det

#2: Det går da vist lige hurtigt nok med fortegnene i dag. ;-)

exp(a) + exp(-a) = 10 <=>

[exp(a)]^2 + 1 = 10*exp(a) <=>

[exp(a)]^2 - 10*exp(a) + 1 = 0

//Epsilon

Alternativt, såfremt man har en grafregner til rådighed, kan man benytte sig af funktionen 'acosh' (arcus cosinus hyperbolsk, undertiden betegnet 'cosh^(-1)', somme tider 'Arcosh').

Funktionen hyperbolsk cosinus (cosh) er defineret som

cosh(x) = 1/2*[exp(x) + exp(-x)]

og i termer heraf kan den relevante ligning skrives

2*cosh(a) = 10 (*)

cosh opfylder tydeligvis, at

cosh(-x) = cosh(x) for alle x E R

hvorfor ligningen (*) reelt har to løsninger **). Imidlertid forudsættes det i opgaveteksten i første indlæg, at a > 0, hvorfor den negative løsning må forkastes, og man har, at

a = acosh(5)

**) Funktionen y = cosh(x), x E R, er således ikke injektiv. Men restriktionen af cosh til intervallet [0;infty[ _er_ en injektiv, kontinuert funktion, som afbilder [0;infty[ på [1;infty[. Dennes inverse funktion x = acosh(y) er ligeledes injektiv og kontinuert og afbilder [1;infty[ på [0;infty[. De fleste grafregnere er udstyret med præcis denne omvendte funktion og vil af den grund evaluere acosh(y), y >= 1, til et x E [0;infty[. Indtastning af acosh(5) returnerer således den positive løsning til ligningen (*), hvilket i dette tilfælde ligeledes er den omspurgte løsning.

//Epsilon