udledning af funktioner

Hvad vil du udlede? Vil du vise, hvorledes disse funktioner differentieres eller integreres? Monotoniforhold og lokale ekstremer hører under differentialregning.

Ups. Jeg mente differentialregnig, og x^2 , kvadratroden af x og x^a skal udledes, men jeg ved ikke hvordan. 

Hvad har du som forudsætninger på dette trin? Bogen har vel en fremgangsmåde, som kan følges?

At vise, at x² er differentiabel og at finde dens differentialkvotient er lige ud ad landevejen med tre-trinsreglen:

Lad f(x) = x² . Opstil differenskvotienten

(f(x+h) - f(x)) / h = ((x+h)² - x²) / h = (x+h+x)·(x+h-x)/h = (2x+h)·h/h = 2x+h,

og man ser, at differenskvotienten har grænseværdien 2x for h gående mod 0. Funktionen f(x) = x² er derfor differentiabel i ethvert x med differentialkvotienten f '(x) = 2x.

Med funktionen f(x) = √x kan man benytte

(f(x+h) - f(x)) / h = (√(x+h) - √x) / h = (√(x+h) - √x)·(√(x+h) + √x) / (h·(√(x+h) + √x))

                            = (x+h -x) / (h·(√(x+h) + √x)) = h / (h·(√(x+h) + √x)) = 1 / (√(x+h) + √x) ,

og man ser, at differenskvtienten har grænseværdien 1/(2√x) for h gående mod 0.

Hvis man allerede har differentialkvotienterne af e^x og ln(x) til rådighed, kan man differentiere x^a således:

(x^a)' = (e^a·ln(x))' = e^a·ln(x) · (a·ln(x))' = x^a · a/x = a·x^a-1

Mange tak for hjælpen. Jeg plejer at benytte: f(x)-(x0)/x-x0 -> f(x0) for x gående mod x0

#4

Så er det jo en fin lille øvelse for dig at omskrive udtrykkene i #3 til din notation.

jeg forstår ikke den måde du har gjort det på.

kan du forklare hvordan jeg omskriver det? så skal jeg nok selv prøve