Ligning

#0

I stedet for at tage kvadratroden på begge sider (som du i øvrigt gør forkert), så skal du forkorte på begge sider af lighedstegnet.

#0

Du kunne også starte med at forkorte leddet med parentesen væk på begge sider - så er resten lige ud ad landevejen.

#1

Jeg finder dit svar ikke så hjælpsomt. Eller det er i hvert fald lidt upædagogisk (måske for mig). Du imødekommer ikke min forespørgsel, og du begrunder ikke, hvordan jeg begår fejlen med at uddrage kvadratrødderne.

Men okay, hvis jeg følger dit råd og forkorter i stedet for at tage rødder, så ender jeg med følgende:

2 + x² - 4x = 3 + x² - 4x - 2x

2 + x² - 4x = 3 + x² - 6x

Trækker x² fra på begge sider

2 - 4x = 3 - 6x

Trækker 2 fra på begge sidder, lægger 6x til

2x = 1 

x = 0,5 
 

... og det giver faktisk facistlistens svar.

Hvad er dog begrundelsen for, at min fremgangsmåde var forkert, andet end det, at resultatet nu stemmer?

Hvordan uddrog jeg rødderne "forkert"? Havde vi haft x² i det ene led og 1,5x² i det andet, og de ikke var ens (og derfor ikke gik ud med hinanden), så skulle der vel tages kvadratrod for at få sammenlignelige størrelser? 

Indtil videre forstår jeg ikke min brøde, og dermed er denne viden (at jeg skal reducere i første omgang i den givne ligning) på ingen måde opbyggelig. 

#3

Hvis leddene med x² ikke havde haft samme koefficient på hver side, ville ligningen kunne reduceres til en 2.-gradsligning, der så skulle løses på den sædvanlige måde med at beregne diskriminant og rødderne ud fra rodformlen.

Man kan ikke uddrage kvadratrødder af flerleddede størrelser, som du gør det i #0. Du gør brug af nogle hjemmelavede regler, som ikke har noget med matematik at gøre. Du kan overbevise dig om, at dit "kvadratrods"-resultat ikke er rigtigt ved at kvadrere tilbage igen.

Svarene i #1 og #2 var jo åbenbart hjælpsomme, eftersom de fik dig til at komme videre ad den rette vej.

I øvrigt ser man, at begge sider af ligningen

2 + x(x-4) = 3 + x(x-4) - 2x

indeholder x(x-4), der så umiddelbart trækkes fra til

2 = 3 -2x , eller

2x = 1 , og dermed

x = 1/2

#4

Mit mål med (tilsyneladende) at sidde og lave algebra midt om natten i min sommerferie er ikke at løse den pågældende ligning, men at identificere misforståelser, så jeg ikke gentager dem. 

Der er i øvrigt en forskel på velment og hjælpsomt, og eftersom jeg forespurgte en gennemgang af løsningen og en forklaring på, hvad jeg gjorde forkert, var det ikke meget hjælpsomt med ikke-kvalificerede formuleringer om, at jeg skal gøre noget bestemt og i øvrigt ikke kan finde ud af at uddrage kvadratrødder. Jeg tvivler ikke på, at det var velment. Det er jeg taknemmelig over for, men jeg kan ikke sige, at det gjorde særlig meget klart for mig, og det er vel nødvendigt at påpege, når man henvender sig et sted for at få klarhed - og ønsker at få tilstrækkelig hjælp.

Hvad jeg nu dog må udlede, er, at:

a. Jeg har misforstået brugen af kvadratrødder, og jeg blander helt sikkert flere sæt regneregler sammen.

b. Der er ingen grund til at foretage sig andet end at lade led gå ud med hinande - hvis de går ud med hinanden.
 
Og tak for det.

Det efterlader dog følgende spørgsmål:

Skal alle ligninger, der indeholder potenser, behandles som andengradsligninger - eller hvad?

#5

Vedrørende dit sidste spørgsmål, er det kun 2.-gradsligninger, der kan løses ved hjælp af løsningsformlen for 2.-gradsligninger. En 2.-gradsligning er en ligning af formen

ax² + bx + c = 0 .

Ligninger, der indeholder potenser af x højere end 2, kan i almindelighed ikke løses som 2.-gradsligninger.

Forklaringerne i #1 og #2 var baseret på et grundlæggende element i matematik, nemlig at man skal reducere til den simplest mulige form, før man begynder at angribe med en løsningsformel.

Hvilke regneregler må man tage i brug, hvis man støder på sådanne ligninger?

(ligninger med potenser > 2)

#7

Der findes færdige formler til at finde rødderne i polynomier af grad 3 og 4. Disse formler gør brug af komplekse tal. For polynomier af grad højere end 4 er der ingen færdig metode til at finde rødderne. Hvis man kan gætte en rod, kan man ved polynomiers division reducere graden af polynomiet, hvis rødder skal findes. For polynomier med heltallige koefficienter er der visse simple regler til at gætte sig til rationale rødder i polynomiet.

SYGNOK, du må bruge alle alm. regneregler i alle typer ligninger. (dvs alt undtagen at gange med 0, opløfte i 0'te eller dividere med 0).

Man skal gøre det på hele venstresiden og hele højresiden. Det har du også gjort, men du har ikke regnet kvadratrødderne rigtigt.

√ (4 + 4)  giver f.eks. ikke 2+2, da √8 ikke giver 4.

√4x  giver ikke 2x, men derimod 2√x

Når man ikke kan huske regneregler som disse - kan man altid lave sit eget lille test med tilfældige tal, som jeg har gjort, og se om det går op. Det gør jeg selv nogle gange.