Beregn koordinater

f(x)=x³-6x²+9x

f '(x)=3x²-12x+9=3*(x-1)*(x-3)=0 for x=3 eller x=1

koordinaterne er så P₁=(3,f(3)) og P₂=(1,f(1))

(jeg får P₁=(3,0) og P₂=(1,4))

Fedt, tusind tak. :)

Men vil du ikke lige forklare mig, hvorfor man gør dette: P1=(3,f(3)) og P2=(1,f(1))?

#2 P1=(3,f(3)) er en matematisk måde at skrive på at du skal indsætte dit x-koordinat i funktionen for at finde dit y-koordinat :)

ved at løse ligningen f '(x)=0 finder man x-koordinatet for et ekstrema, man finder så y-koordinatet ved at indsætte den fundne x-værdi i funktion som ofte skrives P=(x₀,f(x₀))

f(x₀) betyder bare du skal indsætte x₀ i funktionen.

Så du ville også besvare og regne opgaven således?

Man finder lokale ekstrema for en differentiabel funktion f(x) ved at løse ligningen f '(x₀) = 0 .  Man skal også undersøge fortegnsvariationen for f '(x) omkring hver løsning x₀ til ligningen f '(x₀) for at afgøre, om der er tale om et ekstremum for funktionen f(x) i punktet (x₀ , f(x₀)) .

For eksempel gælder der for funktionen f(x) = x³ , at f '(x) = 0 ⇒ x = 0 , men funktionen f(x) har ikke lokalt ekstremum for x = 0 , fordi fortegnsvariationen for f '(x) er    + 0 +     omkring x = 0 . Funktionens graf har her en vandret vendetangent.

Men er det en nødvendighed, hvis jeg bare skal beregne koordinaterne til de lokale ekstrema?

#6

Ja. Man skal jo undersøge, om en løsning til ligningen f '(x₀) = 0 også angiver et lokalt ekstremum.

# 6   Et skoleeksempel på det, du efterlyser, er grafen for funktionen   f(x)  =   4·x³·(1 - x) .

Undersøg 0-punkter og fortegnsvariation for henholdsvis   f    f´  og   f´´