rationale tal

Et rationalt tal kan skrives som en brøk

π (Pi) derimod er et irrationalt tal, idet π ikke kan skrives som en brøk, - "syg lommeregner" eller ej :-)

Tak for dit svar. Mere nøjagtigt formuleret er et rationalt tal, et tal der kan skrives som et kvotient af en dividend der tilhører de hele tal og en divisor, der tilhører de naturlige tal.

Mao. er -3/5 et rationalt tal, mens 0,232/-313 ikke er et rationalt tal?

Er det definitionen af 'brøk' der altså har spillet mig en puds? Selv hvis man (kunne) skrive(r) pi som kvotienten af a/b, vil a/b ikke leve op til kravet om tilhørsforhold til hele/naturlige tal, og derfor ikke være en brøk?

0,232/-313 = -29/39125  er et rationalt tal.

#3

35799531256731255216375127312893127312,37918273918273891273981273891273912739712938712937217931237981273981273981279317289371923791 / -0,8132971289379128371289379127381279837912837891237891278937128937891273893123891238012938012830912839012839012803981902381923768123712536715316735 

forkort brøken

Pointen med #4 er naturligvis, at #3 ikke leverer et forklarende eksempel på, hvordan og hvornår man ikke kan stille to tal op som en brøk, og det fører tilbage til problemstillingen i indlæg 1: Det kan jo virke til, at stort set alt kan opstilles som en brøk bestående af et helt tal og et naturligt tal, blot man bruger tilstrækkeligt (eller uendeligt) mange nuller (dvs. ganger tæller/nævner ud tilstrækkeligt til at give hele/naturlige tal), så med definitionen i #1 vender vi tilbage til fraværet af den ordentlig syge lommeregner, for der virker ikke til at være irrationelle tal. 

diverse kvadratrødder er f.eks.  irrationelle, men de (altså facit for roden, f.eks. sqr (3.9109331) = 1.97760792 (...?) kan jo opskrives som et divisionsstykke, der består af naturlige tal - en brøk. Det er først ved de komplekse tal, at jeg ser problemet med at udtrykke dem 'rationelt'.

Hvordan vil du skrive √(3,9109331) som en brøk af heltal?

Det kan jo bevises at kvadratroden af et heltal, der er større end 1 og ikke kan skrives som kvadratet på et heltal, er irrationalt. Se evt. her

(Og da et rationalt tal ganget med et irrationalt tal er lig et irrationalt tal, må tallet √(3,9109331) nødvendigvis være irrationalt)

#5

Det er jo netop pointen, at ikke alle reelle tal kan skrives som en kvotient mellem to hele tal. Det klassiske eksempel er √2 som allerede i antikken blev vist at være irrationalt.

Ethvert endeligt decimaltal ses let at være et rationalt tal. Består tallet af n decimaler efter kommaet, får man ved at forlænge tallet med 10ⁿ i tæller og nævner skrevet tallet som en kvotient mellem to hele tal.

Tilsvarende ses et uendeligt, periodisk decimaltal d også at være et rationalt tal, da man her ser, at
(10^m+n -1)·d er et helt tal, hvor m er antallet af decimaler før det periodiske forløb starter, og n er antallet af decimaler i perioden.

Irrationale reelle tal kan hverken skrives som endelige eller periodiske decimaltal.

Det, du måske er inde på, er, at ethvert reelt tal kan approksimeres vilkårligt nøjagtigt med rationale tal. Det vil sige, at for ethvert reelt tal ξ og for enhver nok så lille positiv fejlmargin ε, findes der et rationalt tal q, sådan at |ξ - q| < ε .

Det betyder imidlertid ikke, at ethvert reelt tal er rationalt.

# 0

En udmærket rational tilnærmelse til π er det rationale tal  ³⁵⁵/₁₁₃   .

Regn brøken ud og find differencen mellem brøken og π .

Men π vil ikke kunne skrives som rationalt tal som før beskrevet.

I Excel er det let selv at lave et program, som konverterer et reelt tal til et rationalt tal med en given nøjagtighed.

#9

Hvor stammer forestillingen fra, at "irrationale" tal overhovedet eksisterer? Jeg tvivler ikke på, at det er rigtigt, men hvad jeg har ment er, at jeg ikke kan se, hvordan irrationale tal ikke blot er rationale tal, som vi ikke kan formulere på grund af manglende teknologi, forståelse, hvad ved jeg.

Jeg forholder mig lige nu ikke empirisk, men rent ontologisk til irrationale tal. Der er vel ikke noget bevis for, at de faktisk eksisterer, hvis det har handlet om vor manglende evne til at udtrykke dem som andet end noget meget mystisk. Hvis det altså har - det ved jeg ikke.

Hvori ligger i det hele taget logikken i, at tal kan have en uendelig decimalrække (og dermed være umuligt at formulere som brøk)?

#10
Haha, det er en rimelig tilnærmelse :-D

#11

Som jeg nævnte i #9 blev det allerede vist i oldtiden, at tallet √2 ikke er et rationalt tal. Derfor eksisterer de irrationale tal. Du kan ikke benytte de mangelfulde egenskaber for din lommeregner til at vise noget som helst.

Det er forholdsvis let at vise, at enhver række af formen

s = ∑^∞_n=0 a_n/10ⁿ ,

hvor a_n er et helt tal med 0 ≤ a_n ≤ 9 , er konvergent.

# 11   Det er af afgørende betydning for de reelle tals, R , anvendelighed, at det, der ikke er rationalt, også tilhører R. Det er derfor nærliggende at kalde denne delmængde af R for de irrationale tal.

# 13  fortsat.     Lad Q være mængden af rationale tal og R mængden af reelle tal. Vi har da:

                                   R  =  Q ∪ (R \ Q)