Matematik

Komplekse tal (bevis)

20. september 2012 af YesMe (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Når man ved, at e^iθ = cosθ + isinθ , og e^-iθ= cosθ - isinθ

så må e^iθ + e^-iθ= 2cosθ ⇒ cosθ = (e^iθ + e^-iθ)/2

og e^iθ - e^-iθ= 2i sinθ ⇒ sinθ = (e^iθ - e^-iθ)/2i

Så siger min norsk bog, at

" Disse regninger forudsetter selvfølgelig at θ er et reelt tall, men svarene kom frem til gir os et hint om hvordan vi bør definere cosinus og sinus til komplektse tal, vi setter simpelthen:

cos(z) = (e^iz + e^-iz)/2 og sin(z) = (e^iz - e^-iz)/2i "

Det her forstår jeg ikke (har prøvet at google, læst i forskellige bøger, nedskrevet mine egne beviser og alt muligt - forstod ingenting lol). Hvordan kan θ pludselig være lig med z, eller er det bare man har omskrevet det til z uden at anse det som en form for; z = a + ib = r·(cosθ + isinθ), hvor r er modulus til z? Hvis nej, så prøver jeg lave en test; (hvilket er forkert)

e^iz = r·(cosθ + isinθ) ≠ e^iθ= cosθ + isinθ.

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. september 2012 af peter lind

Det er en udvidelse af definitionen af cos(θ) til også at gælde for komplekse tallet. Formlen cos(θ) = (e^iθ + e^-iθ)/2 gælder for reelle tal. Nu vil man udvide den til også at gælde for komplekse tal og det gøres simpelt ved at tillade at θ er kompleks.

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. september 2012 af mathon

...argumentet kan udtrykkes med et hvilket som helst bogstav

Svar #3
20. september 2012 af YesMe (Slettet)

#1 Det forstår jeg ikke helt. Hvordan udvider man den?

#2 Helt enig. Men jeg vil gerne forstå lidt mere end det. Hvis man lader θ = z, betyder det så i dette tilfælde, at z ≠ r·(cosθ + isinθ) eller?

Brugbart svar (0)

Svar #4
20. september 2012 af peter lind

Man vil gerne udvide de trgonometriske funktioner til også at være funktioner af komplekse tal, Du kan ikke bare skrive at den også gælder for komplekse tal. Der skal en præcis definition til. Derfor udtrykker man de grundlæggende trigonometriske funktioner ved eksponentialfunktioner. De er jo defineret ved komplekse tal. Ud fra det kommer så den udvidede definition. Man kan iøvrigt vise at det er den eneste måde at gøre det på, hvis funktionerne skal være kontinuerte. Udvidelsen består så blot i at man siger at de pågældende formler også gælder for komplekse tal.

cos(z) = (e^iz+e^-iz)/2 er således definitionen på den komplekse cosinus funktion. For z reel falder den sammen med den klassiske cosinusfunktion.

Hvis man skal regne på det vil man normalt bruge z på den rektangulære form. Principielt kan man godt bruge den polære form. men det er upraktisk

Skriv et svar til: Komplekse tal (bevis)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.