Sfærisk koordinater

Start med at skrive ned, hvordan de sfæriske koordinater er defineret:

x = r·sin(θ)·cos(φ)

y = r·sin(θ)·sin(φ)

z = r·cos(θ)

Her er 0 ≤ θ ≤ π , og 0 ≤ φ ≤ 2π . Da r·sin(θ) ≥ 0 betyder y ≥ 0 derfor, at sin(φ) ≥ 0 . Halvkuglen r ≤ 1 , y ≥ 0 beskrives derfor ved

r ≤ 1 , 0 ≤ φ ≤ π .

#1

Jeg har skrevet på samme måde som din fremgangs måde om x, y og z. Men vinklerne er omvendt (altså mine vinkler er ombyttet).

Jeg kan ikke se hvorfor man skal sige, at θ ∈ [0 ; π] og φ ∈ [0 ; 2π] (det står også om det i min bog). Er det bare noget, man skal definere for altid? (Ikke vigtigt spørgsmål)

y ≥ 0 er vel det samme som r·sin(θ)·sin(φ) ≥ 0 for sfæriske koordinater. Når man dividerer med r·sin(θ) på hver sider, får man sin(φ) ≥ 0, er det det du tænker sådan? 

Jeg kan ikke forstå det her: 0 ≤ φ ≤ π. Jeg kan nogenlunde følge med, at sinus vinklen φ skal være større eller lig med 0. Jeg beklager jeg stiller for mange spørgsmål.

#2

Der er muligvis forskellige konventioner i brug. Jeg har benyttet denne

http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system#Cartesian_coordinates

Det er for primitiv en betragtning blot at dividere med r·sin(θ). Når 0 ≤ θ ≤ π gælder der altid sin(θ) ≥ 0 , hvorfor r·sin(θ) ≥ 0 . Hvis y =  r·sin(θ)·sin(φ) skal være ≥ 0 , må der derfor gælde, at sin(φ) skal være ≥ 0 .

Og uligheden sin(φ) ≥ 0 medfører jo, at 0 ≤ φ ≤ π . Det hele følger af helt elementære betragtninger omkring enhedscirklen, som du burde være fortrolig med.

#3

OK. Det vil jeg prøve at huske!

Er svaret så denne mængde (ombytter lige vinkler, og at ρ = r):

R = {(ρ,θ,φ) | 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ π} ?

så V = ∫₀¹∫₀^π∫₀^π ρ³sin²(φ)sin(θ) dφdθdρ = ... Er jeg på det rette spor?

#4

Ja, mængden R svarer til den føromtalte halvkugle, r ≤ 1, y ≥ 0 .

Hvilket integral skal man beregne for V ?

Man skal huske, at der her gælder

dV = dx dy dz = r² sin(θ) dr dθ dφ

Ønsker man at beregne halvkuglens rumfang, er dette

V = ∫₀¹∫₀^π∫₀^π dV = ∫₀¹∫₀^π∫₀^π r² sin(θ) dr dθ dφ = (π/3) · ∫₀^π sin(θ) dθ

                                                                               = (π/3) · [-cos(θ)]^π₀

                                                                               = 2π/3

#5

Kan der ikke være en tastefejl ved sidste linje, at V = π/3 istedet for 2π/3, for -cos(π) = 1?

Glem det, hvad jeg skrev. Tusind tak for hjælpen! :)