Cirklens ligning udfra tre punkter

Cirklens ligning har formen

(x - a)² + (y - b)² + r² = 0 ,

hvor (a,b) er koordinaterne til cirklens centrum, og r er cirklens radius.

Man kan indsætte hvert af de tre givne punkters koordinatsæt i cirklens ligning og således opnå 3 ligninger til bestemmelse af de tre størrelser a, b og r. Eftersom hvert punkt har et 0 for en af koordinaterne, forenkler det ligningerne.

Man kan også gå mere geometrisk til værks. Da de tre punkter (5,0), (0,4) og (-3,0) ligger på den søgte cirkel, er denne cirkel den omskrevne cirkel for trekanten med de tre vinkelspidser A(5,0), B(0,4) og C(-3,0) .

Cirklens centrum kan derfor findes som skæringspunktet mellem de to midtnormaler for AC og BC. Da A og C begge ligger på x-aksen, er midtnormalen for liniestykket AC da linien med ligningen x = 1 . Midtnormalen for liniestykket BC skal gå gennem punktet (-3/2 , 2) og den skal have vektoren CB = (3 , 4) som normalvektor. Midtnormalen for liniestykket BC har derfor en ligning af formen

3x + 4y + c = 0 ,

hvor c bestemmes af punktet (-3/2 , 2) , så at

-(3/2)·3 + 4·2 + c = 0 , dvs c = 9/2 - 8 = -7/2 .

Koordinaterne for centrum findes derfor som skæringspunktet mellem linierne med de to ligninger

x = 1 og

3x + 4y -7/2 = 0 , dvs cirklens centrum P er

(a,b) = (1 ; 1/8) .

Endelig findes radius r som afstanden fra centrum P til et af punkterne A, B eller C .

#3

Man kan bestemme både cirklens centrum og cirklens radius ud fra de tre ligninger, der fremkommer ved at benytte metoden i #1. Man har 3 ligninger til at bestemme de 3 ubekendte.

Man kan også benytte metoden i #2 til at bestemme de tre ubekendte.

       (x-b)^2+(y-b)^2=r^2
 

       solve((5-b)^2+(0-b)^2=r^2 and (0-b)^2+(4-b)^2=r^2 and(-3-b)^2+(0-b)^2=r^2,{a,b,r})

som er en CASberegning af #6