Kuglens ligning

Skriv den om til kuglens ligning, så du direkte kan aflæse kuglens radius og dens centrum. 

Kuglens ligning: (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r², hvor (a,b,c) er kuglens centrum og r er radius. 

(x-4)²+(y-4)²+(z-2)²=r²

Er det rigtigt omskrevet og er kuglens centrum så (4,4,2)?

#2

Det er ikke korrekt omskrevet. Du overser, at (x-a)² = x² -2xa + a² . Du har heller ikke bestemt kuglens radius.

x²-4x+y²-4y+z²-2z = 0 , gruppér

x² - 2·2x + y² -2·2y + z² -2·1z = 0

og kompletter så leddene med x, y og z til kvadrater.

Det forstår jeg ikke. Kan du uddybe noget mere? :)

#4

Når man kvadratkompletterer får man jo

x² - 2·2x + y² -2·2y + z² -2·1z = 0 og dermed

x² - 2·2x + 2² + y² -2·2y + 2² + z² -2·1z +1² = 2² + 2² + 1² , hvorfor

(x-2)² + (y-2)² + (z-1)² = 3²

Man skal dividere koefficienterne i de blandede led med 2 for at aflæse centrums koordinater.

Generelt, hvis kuglens ligning er

x² + d·x + y² + e·x + z² + f·x + g = 0 ,

får man ved at kvadratkomplettere

(x + (d/2))² + (y + (e/2))² + (z + (f/2))² = (d/2)² + (e/2)² + (f/2)² - g

hvoraf man aflæser kuglens centrum ( -d/2 , -e/2 , -f/2) og radius givet ved r² = (d/2)² + (e/2)² + (f/2)² - g

Er der ikke en lettere måde end at kvadratkomplettere?

#7

Nej, man kommer ikke uden om at kvadratkomplettere, men hvis du benytter udtrykkene i #6, er det jo blot et spørgsmål om at indsætte og regne ud.

eller noteret

                  x² + y² + z² + 2dx + 2ey + 2fz + g = 0

med
          centrum  C = (-d,-e,-f)
     og
          radius r = √( d² + e² + f² - g )

hvoraf specifikt

                  x² + y² + z² + 2(-2)x + 2(-2)y + 2(-1)z + 0 = 0

med
          centrum  C = (2,2,1)
     og
          radius r = √( 2² + 2² + 1² - 0 ) = 3

dvs

                                    (x-2)² + (y-2)² + (z-1)² = 3²