Matematik
Væskes bevægelse fra en konisk beholder
Hej.
Jeg står midt i en opgave, hvor jeg skal redegøre fra væskers bevægelse fra en konisk beholder. Først har jeg redegjort for væskers bevægelse fra en relativt simpel beholder. Jeg har efterfølgende fået at vide, at jeg ville få flere point for at beskrive en mere avanceret beholder, hertil sagde min lærer, at en konisk beholder ville være god at regne på.
Jeg har beskrevet den simple beholder, og er kommet frem til følgende differentialligning, som beskriver højden af væsken til tiden t:
(dh(t))/dt=-A/B*√(2g*h(t))
A er tværsnitsarealet på udløbet, og B er tværsnitsarealet på beholderen.. Begge er konstante.
For at løse den har jeg benyttet "separation af variable"-metoden.
(dh(t))/dt=-A/B*√(2g*h(t))
Først benyttes at √(x*y)=√x*√y:
(dh(t))/dt=-A/B*√2g*√(h(t))
Derefter divideres √(h(t)) og ganges med dt på begge sider:
1/√(h(t))*dh(t)=-A/B*√2g*dt
Når værdierne h(t) og dt er blevet samlet på begge sider, kan der integreres på begge sider, og der tilføjes en konstant til en af siderne.
∫(1/√(h(t)))*dh(t) = ∫-(A/B) * √2g*dt+c
Altså er løsningen nu fremkommet. (Hvordan kan dette uddybes yderligere?)
Mit generelle spørgsmål er, hvordan kan jeg gøre det samme, for en kegle beholder, som er cirkelformet? Jeg kan virkelig ikke finde en løsning til det.
På forhånd tak!
-Forresten, hvad betyder det, at jeg skal løse modellen analytisk?
Svar #1
05. december 2012 af peter lind
Du bør udregne integralet på venstre side og derefter isolere h(t). Du bør også gå ud fra en begyndelse altså angive h(0) som så giver en bestemmelse af c
Analytisk betyder at du skal regne som du har gjort. Det står i modsætning til at bruge et CAS værktøj. Du må altså ikke bruge et CAS værktøj til andet end at kontrollere om du har regnet rigtig.
Svar #2
05. december 2012 af samsu (Slettet)
Jeg er ikke helt sikker på, at jeg forstår, hvordan du vil starte med at beregne integralet, og så finde konstanten c. Vil du uddybe det?
Svar #3
05. december 2012 af peter lind
På venstre side har du ∫h-½dh Det integral bør du udregne.
Du vil når du har isoleret h(t) få en funktion, der indeholder både t og c altså h(t) = f(t,c)
Indsætter du t=0 får du h(0) = h0= f(0, c) hvor h0 er starthøjden. Du kan så af ligningen finde c udtrykt ved h0 og så sætte det ind i dit facit
Skriv et svar til: Væskes bevægelse fra en konisk beholder
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.