Komplekse tal bevis

Prøv at formulere hvad det er, du ønsker at vise. Ønsker du at bestemme rødderne i ligningen z² = a ?

Her er beviset.. vil bare gerne have en forklaring og eventuelle mellemregninger :)

Er du der ?? :(

#2

Man skal løse ligningen z² = a , hvor a = a₁ + ia₂ er et kompleks tal med realdel a₁ og imaginærdel a₂. Skriver vi z = x+iy , skal vi derfor løse ligningen

z² = (x+iy)² = x² -y² + i·2xy = a₁ + ia₂ , dvs. ligningssystemet

x² - y² = a₁
2xy = a₂

Lad os antage, at a₂ ≠ 0 , hvorfor der vil gælde, at x ≠ 0 . Vi har derfor

y = a₂ / (2x) ,

hvilket fører til ligningen

x² - a₂² / (4x²) = a₁ , eller

x⁴ - a₁·x² - a₂²/4 = 0

der er en 2.-gradsligning i x² med diskriminant d = a₁² + a₂² = r² ≥ 0 , så vi finder rødderne

x² = (a₁ ± r)/2 ,

og da a₁ - r ≤ 0 og a₁ + r ≥ 0 , har vi da rødderne

x = ±√((r + a₁)/2) ,

og dermed

y = a₂ / (2x) = ±a₂/(√(2·(r + a₁))) = ±a₂·√((r - a₁)/2) / √(r² - a₁²)

                                                        = ±a₂·√((r - a₁)/2) / √(a₂²)

                                                        = ±a₂/|a₂| · √((r - a₁)/2)

                                                        = ±sign(a₂) · √((r - a₁)/2)