8006: differentiering

y' + y = 2x + 5 er en lineær differentialligning af 1. orden, som har den generelle form: y' + P(x)y = Q(x).

Her er P(x) = 1 og Q(x) = 2x + 5

Den generelle løsning har formen: f(x) = b e^-A(x) + e^-A(x)∫_a→xQ(t)e^A(t)dt, hvor f(a) = b og A(x) = ∫_a→x P(t)dt

A har derfor formen: A(x) = ∫_a→x 1dt = x - a.

At y = 1 er (vandret) tangent til grafen for f betyder, at y' = 0 under betingelsen y = 1.

Det vil sige. y' = 2x + 5 - y i berøringspunktet er:  0 = 2x + 5 -1 ⇔x = -2.

Så vi kan bruge: a = -2 og b = 1. Derfor er A(x) = x+2. Vi skal altså løse udtrykket:

f(x) = e^-(x+2) + e^-(x+2) ∫_-2→x(2t+5) e^t+2 dt = e^-2e^-x + e^-x∫_-2→x (2t+5) e^t dt

Partiel integration giver:

f(x) = e^-x(e^-2 +[(2t + 5)e^t - 2∫ e^tdt]_-2→x) = e^-x(e^-2 + [(2t + 5)e^t - 2e^t]_-2→x) ⇒

f(x) = e^-x(e^-2 + [((2t+5)  - 2)e^t ]_-2→x) = e^-x(e^-2 + ((2x+5) - 2)e^x - e^-2) = 2x + 3.

Kontrol: y = 2x + 3 ⇒ y' = 2 - så: y'  + y = 2 + 2x + 3 = 2x + 5  OK.

panserformlen giver
dig
                          y = C•e^-x + 2x + 3

tangenten i (x_o,1) har hældningen 0, da tangentligningen er    y = 0x + 1
hvoraf
                          y ' = 2x_o + 5  - 1 = 0

                          x_o = -2

så du til bestemmelse
af C har
                          y = C•e^-x + 2x + 3       gennem (-2,1)

                          1 = C•e² - 4 + 3

                           C = 2e^-2

konklusion
                          y = (2e^-2)•e^-x + 2x + 3

                          y = 2e^-x-2 + 2x + 3
 

Har glemt leddet e^-(x+2). Beklager

f(x) = e^-(x+2) + 2x + 3.

Kontrol: y' = -e^-(x+2) + 2

y' + y = -e^-(x+2) + 2 + e^-(x+2) + 2x + 3 = 2x + 5. OK.

mathon, hvad er panserformlen? det kan jeg jo ikke skrive i min opgave... :)

#4

Se evt. https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1291214 hvor samme opgave kører.

             y ' + f(x)•y = g(x)

             y = e^-F(x) • ∫₀(e^F(x)•g(x)dx + C)     hvor ∫₀.....dx   er stamfununtionen med inetrationskonstanten C = 0

kender du ikke formlen
kan du multiplicere

                          y ' + y = 2x + 5                                 med e^x på begge sider

                          e^x•y ' + e^x•y = e^x•(2x + 5)                venstre side omskrives til

                          (e^x•y) ' = e^x•(2x + 5)                        der integreres på begge sider

                          e^x•y = ∫e^x•(2x + 5)dx                        partiel integration på højre side           

                          e^x•y = e^x•(2x + 5) - ∫e^x•2dx          

                          e^x•y = e^x•(2x + 5) - 2e^x + C            højre side reduceres

                          e^x•y = e^x•(2x + 3) + C                     multiplicer med e^-x  på begge sider

                          y = C•e^-x + 2x + 3