3 små opgaver

ad 1)
Pythagoras' læresætning kan skam passende anvendes. Ethvert punkt på omtalte cirkel ligger specielt på kuglen. Med andre ord: afstanden fra kuglens centrum til den skærende plan er præcis afstanden mellem centrum for kuglen hhv. cirklen.

ad 2)
Korrekt. I c) dog 'et' punkt (ikke 'en' punkt).

ad 3)
Du ved vel, hvilken form P har, når funktionen er et andengradspolynomium. Udnyt det.

//Epsilon

Opgave 3)

Bestem samtlige andengradspolynomier P,
der tilfredsstiller ligningen
x* P`(x) = 2 *P(x) – x

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Nu er P jo på formen

ax^2+bx+c

P(x) = ax^2+bx+c

så

P'(x) = (ax^2+bx+c)' = 2ax+b


Så

x* P`(x) = 2 *P(x) –x

kan skrives op således:


x* P`(x) = 2 *P(x) –x

x* (2ax+b) = 2 *(ax^2+bx+c) –x

2ax^2 + bx = 2ax^2 + (2b-1)x + 2c


...og hvad så ? Joh, der skal stemmes af led for led.

Andengradsleddet ser fint nok ud. (Så a = a)

og

b = (2b-1)

2c = 0 (der er jo intet konstant-led på vs)
hvilket gir c=0.



b = (2b-1)

b = 2b-1

0 = b-1

b = 1


Altså:

er P på formen P(x) = ax^2 + x = x(ax+1)




Lad os da for én gangs skyld lave et CHECK af det vi har fundet ud af
for at se om det vitterlig ER rigtigt...!!


x* P`(x) = 2 *P(x) – x

x * (ax^2 + x)' = 2* (ax^2 + x) - x

x * (2ax + 1) = 2ax^2 + 2x - x

2ax*x + x*1 = 2ax^2 + (2-1)x - x

2ax^2 + x = 2ax^2 + x

...jamen dog, det ser jo fint ud.

Altså var det rigtigt det vi i fællesskab fandt ud af.



Duffy

#2:
Du med dit 'fandt ud af i fællesskab', Duffy :P

Der er også en smutter her:

" 2ax*x + x*1 = 2ax^2 + (2-1)x - x "

Det sidste led på højre side skal slettes.

//Epsilon

OK Epsi. Så kommer den her igen med rettelsen. (i virkeligheden en småfejl for resulteatet er vel ikke til at tage fejl af!! ;-P)

Opgave 3)

Bestem samtlige andengradspolynomier P,
der tilfredsstiller ligningen
x* P`(x) = 2 *P(x) – x

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Nu er P jo på formen

ax^2+bx+c

P(x) = ax^2+bx+c

så

P'(x) = (ax^2+bx+c)' = 2ax+b


Så

x* P`(x) = 2 *P(x) –x

kan skrives op således:


x* P`(x) = 2 *P(x) –x

x* (2ax+b) = 2 *(ax^2+bx+c) –x

2ax^2 + bx = 2ax^2 + (2b-1)x + 2c


...og hvad så ? Joh, der skal stemmes af led for led.

Andengradsleddet ser fint nok ud. (Så a = a)

og

b = (2b-1)

2c = 0 (der er jo intet konstant-led på vs)
hvilket gir c=0.



b = (2b-1)

b = 2b-1

0 = b-1

b = 1


Altså:

er P på formen P(x) = ax^2 + x = x(ax+1)




Lad os da for én gangs skyld lave et CHECK af det vi har fundet ud af
for at se om det vitterlig ER rigtigt...!!


x* P`(x) = 2 *P(x) – x

x * (ax^2 + x)' = 2* (ax^2 + x) - x

x * (2ax + 1) = 2ax^2 + 2x - x

2ax*x + x*1 = 2ax^2 + (2-1)x

2ax^2 + x = 2ax^2 + x

...jamen dog, det ser jo fint ud.

Altså var det rigtigt det vi i fællesskab fandt ud af.



Duffy

Ad 1)

a^2 +b^2 = c^2

7^2 + 4^2 = c^2
65 = c^2
sqrt(65) = c

er det sådan her man kan lave den

#5:
Nej, thi sqrt(65) > 7, i modstrid med det givne: planen skærer kuglen, så afstanden fra kuglens centrum til den skærende plan er skarpt mindre end kugleradius.

Lad r og R betegne radius af lillecirklen *) hhv. kugleradius, og lad C betegne kuglens centrum. Sæt a = dist(C,ß); afstanden fra C til den skærende plan, som vi benævner ß.

Tegn situationen!

Af den pythagoræiske læresætning haves

a^2 + r^2 = R^2

hvoraf a = dist(C,ß) = sqrt(33). Kan du se det?

*) På en kugleoverflade en cirkel, hvis centrum ikke er kuglens centrum; modsat 'storcirkel'. I den konkrete opgave er r

//Epsilon

ok nu er jeg med!!

endnu en gang tak for hjælpen!