4. grads polynomium med komplekse rødder

du kan dividere med (x-r1)(x-r2) hvor r1 og r2 er de 2 rødder. Du får et andetgrads polynomium med reelle koefficienter ud af multiplikationen

Selvfølgelig... Tak for hintet Peter!

Du kan jo også fra starten af faktoriserer hele polynomiet til 2 2.gradspolynomier med komplekse rødder hver. 

Ja men nu havde jeg jo fundet to rødder på den anden måde, så ville gerne arbejde videre derfra :)

#3

Da 4.-gradspolynomiet har reelle koefficienter, kan det faktoriseres i 2 2.-gradspolynomier med reelle koefficienter. Man sætter

x⁴ - 2x³ -x² +2x +10 = (x² + ax + b)(x² + cx + d)

                                    = x⁴ + (a+c)x³ + (b + ac + d)x² + (ad+bc)x + bd

Ved aflæsning får man så ligningssystemet

a+c = -2
b+ac+d = -1
ad+bc = 2
bd = 10

der som en løsning har

a = 2 , b = 2 , c = -4 , d = 5 , så vi har faktoriseringen

x⁴ - 2x³ -x² +2x +10 = (x² +2x +2)(x² - 4x +5)

                                   = [ (x+1)² +1 ] · [ (x-2)² +1 ]

De fire rødder er derfor

x = -1 ± i ∨ x = 2 ± i

Super med en metode Andersen11!

jeg har prøvet at regne på det der. og jeg forstår ikke hvordan du kommer frem til a=....., b=..., c=... og d=....

og jeg mener efter at have kigget på a+c=-2 og ad+bc=2 og bd=10 ikke stemmer. men b+ac+d= -1 stemmer.

ved ikke om det er mig som er galt på den. vil en ikke godt nok beskrive lige den del mere tydligt for mig ?

#7

Forstår du ikke, hvordan man kommer frem til ligningssystemet

a+c = -2
b+ac+d = -1
ad+bc = 2
bd = 10

?

ja. det er der jeg ikke syntes det giver mening

#9

Man udregner polynomiet

(x² + ax + b)(x² + cx + d)

ved at gange de to treleddede størrelser med hinanden

(x² + ax + b)(x² + cx + d) = x⁴ + cx³ + dx² + ax³ + acx² + adx + bx² + bcx + bd

                                      = x⁴ + (a+c)x³ + (d + ac + b)x² + (ad + bc)x + bd

der sammenholdes med polynomiet

                                        x⁴ -2x³ -1x² +2x +10

hvoraf man aflæser

a+c = -2
d + ac + b = -1
ad + bc = 2
bd = 10

ahh tusinde tak. jeg troede at jeg skulle tage a fra formlen

og så sætter ind i den formel. derfor kunne jeg ikke få de samme resultater. nu forstår jeg den del. men hvordan kommer vi så frem til hvad a, b,c og d er =

#11

Det simpleste er ud fra ligningen bd = 10 at gætte på, for eksempel b = 2, og så bestemme a, c og d ud fra de resterende ligninger.

gætte??

#13

Ja, hvis der skal være nogen chance for simple løsninger, skal man se på b,d = ±2 , ±5, ±1, ±10 .

Med b = 2, er d = 10, og de 3 øvrige lignigner reduceres til

a+c = -2
5a + 2c = 2
ac = -8

der alle er konsistente med c = -4 og a = 2 .

ok tak