Funktioner og forskrifter

Der er vedlagt 1 opgave med 3 spm.

Det drejer sig om funktionen

f(x) = sin²(x) + cos(x) , x ∈ [0;3π]

I a) skal man løse ligningen f(x) = 0 .

I b) Starter man med at løse ligningen f '(x) = 0.

c) Beregn voluminet ved

V_y = 2π · _a∫^b f(x)·x dx

Tip til a: brug at sin²(x) = 1-cos²(x) sætter du y = cos(x) har du en andengradsligning i y

eller V =2π · ∫ f^-1(x)² dx fra a til b

altsammen en nem PC opgave!

#4

Hvis du ellers kigger på det vedlagte, vil du se, at f^-1 ikke er veldefineret. Integralet giver ikke mening, som du har skrevet det op.

men i hånden!...   a og/eller  b ligner vinklerne i femkanten

enig, ikke fra a til b...

men Mette kunne hjælpe os, må hun bruge Maple eller ej?

a) Hvis man bruger Peter Linds råd i #3, finder man for løsningen til ligningen f(x) = 0, at

cos(x) = (1 - √5)/2 ,

hvoraf man finder

a = 2π -cos^-1((1 - √5)/2) ≈ 4,04615 , og

b = 2π +cos^-1((1 - √5)/2) ≈ 8,520221

b) Ligningen f '(x) = 0 bliver til

2sin(x)·cos(x) -sin(x) = 0 , dvs

sin(x)·(2cos(x) - 1) = 0 , eller

sin(x) = 0 ∨ cos(x) = 1/2 ,

der i intervallet [0;3π] har løsningerne

x = 0, x = π , x = 2π , x = 3π , x = π/3 , x = 5π/3 , x = 7π/3

For grænserne a og b har man nu

cos(a) = (1 - √5)/2 og sin(a) = -[(√5 - 1)/2]^1/2

og

cos(b) = (1 - √5)/2 = cos(a) og sin(b) = [(√5 - 1)/2]^1/2 = -sin(a) = √(-cos(a))

Vi har så for c)

V_y = 2π · _a∫^b f(x)·x dx = 2π · _a∫^b (sin²(x) + cos(x))·x dx

     = 2π · [x²/4 -x·sin(2x)/4 - cos(2x)/8 + cos(x) + x·sin(x)]^b_a

     = (π/2)·(b² - a²) + 2π·sin(b)·(1 - cos(a)/2)

jeg kan nu se at f fra a til b ikke en-mod-een... Heldigvis kan Maple klare omdrejning om y-aksen...

a= 4.04615...     b = 8.52022...

V_y = 169,567967

V ca  27*2π?

I #9 skulle det være

V_y = (π/2)·(b² - a²) + 2π·(b-a)·sin(b)·(1 - cos(a)/2)

til sidst. Indsættes tallene får jeg

V_y ≈ 117,2437 ≈ 2π·18,66

# 11   integration ad modum Romberg.

jeg tror at #11 og #12 er rigtige Andersen

Jeg må godt bruge Maple, så længe jeg siger hvad jeg har lavet i programmet. Men mange tak for hjælpen alle sammen! :D

#15

Ja, jeg kan godt se nu, at resultatet til sidst i #9 og #13 ikke er korrekt.

Man kan lave et hurtigt overslag over rumfanget, da det groft set er lig med rumfanget af en kasse med grundflade 4·1 og med højde 2·π·6 , dvs V_y ≈ 48·π ≈ 150,8 (meget groft overslag).

Hvis jeg fortsætter fra #9, har vi

V_y = 2π · _a∫^b f(x)·x dx = 2π · _a∫^b (sin²(x) + cos(x))·x dx

     = 2π · [x²/4 -x·sin(2x)/4 - cos(2x)/8 + cos(x) + x·sin(x)]^b_a

     = 2π·[ b²/4 -b·2·sin(b)·cos(b)/4 - (cos²(b)-sin²(b))/8 +cos(b) + b·sin(b)

                - a²/4 +a·2·sin(a)·cos(a)/4 + (cos²(a)-sin²(a))/8 -cos(a) + a·sin(a) ]

Her udnytter vi nu, at cos(a) = cos(b), at sin(a) = -sin(b), og at a+b = 4π, til

V_y = 2π·[ (b²-a²)/4 + b·sin(b) + a·sin(b) -(1/2)b·sin(b)·cos(b) -(1/2)a·sin(b)·cos(b) ]

     = 2π·[ (b²-a²)/4 + (a+b)·sin(b)·(1 - (1/2)·cos(b)) ]

     = 2π·4π·[ (b-a)/4 + sin(b)·(1 - (1/2)·cos(b)) ]

Hvis man så endelig udbytter, at

cos(b) = (1-√5)/2 , sin(b) = [ (√5 - 1)/2 ]^1/2 , og b-a = 2·cos^-1((1-√5)/2) ,

kan vi skrive rumfanget som

V_y = 4π² · [ cos^-1((1-√5)/2) + [(√5 -1)/2]^1/2 · ((3+√5)/2) ] ≈ 169,56796722

hvilket jo er en smuk bekræftelse af det numeriske resultat i #11.

smuk eksakt regning Torben- er det tiden værd?

har du en eksakt værdi for 9-kantens kantlængde, når R af omskreven cirkel er 1?

vh

#18

Den værdi kender du vist også selv:

s₉ = 2·sin(π/9)

sin(π/9) er den mindste positive rod i 3.-gradsligningen

4x³ - 3x + (√3)/2 = 0

dvs

jeg fiskede efter noget klassisk, uden trigonometri...

ligesom i pentagonen , hvor diagonal/kantlængden = φ    og med Arkimediske metoder faar eksakte vaerdier

for sin af 9, 18,54,72 ^º...

hvor fik du 3.gr ligningen fra?