Side 2 - Funktioner og forskrifter

# 20  Man har

sin (3x) = 3·sin(x) - 4·sin²(x)  og sin (^π/₃) er jo et "pænt" tal. 

# 21    Kan ikke redigere indlæget og må derfor oprette et nyt svar.

# 21    Rettelse:   sin²(x)  skal være  sin³(x) . 

nå ja, den bruge man nelig til at fx få sin3  udfra sin9 osv

men er der ingen symmetrier i 9-, 15, 45-kanten (se sin af 1,2,4,3,6,5,10,20 osv) som der er i 5-kanten? (som smukt kan vises klassisk, se Ptolemeus)

#20

Det er velkendt, at siden i den regulære 9-kant ikke kan konstrueres med passer og lineal som en polygon indskrevet i en cirkel med en forelagt radius, således som for eksempel siderne i den regulære 3-, 4-, 5- og 17-kant kan konstrueres med passer og lineal. Ligeledes er vinklens tredeling med passer og lineal heller ikke mulig. Disse to umuligheder hænger sammen med, at sin(α/3) er en løsning i 3.-gradsligningen i #21-#22

4·sin³(α/3) - 3·sin(α/3) + sin(α) = 0 ,

hvis rødder ikke kan udtrykkes med kvadratrødder alene. De kan dog udtrykkes ved også at benytte kubikrødder og komplekse tal.

#23

Her er en liste over eksakte værdier for sin(pº), cos(pº), osv. hvor p er et helt multiplum af 3.

http://en.wikipedia.org/wiki/Exact_trigonometric_constants

De er udledt ved at benytte additionsformler eller formler for halve vinkler i passende kombinationer.

Men sin(20º) = sin(π/9) indgår ikke i denne liste.

Dog giver denne side http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities nogle pudsige relationer, for eksempel

og

som man kan more sig lidt med.

ja, jeg ved om umuligheden at tredele vinklen, og tænkt på at det er bevist!

men huskede så at jeg har en liste, kigger på den og ser sin 20

der er åbenbart intet at gøre, tak!

Her er nok det simpleste udtryk for den eksakte værdi af sin(π/9)

fra http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi9.html , men man kommer vist ikke uden om trigonometri, når man rent faktisk skal beregne de komplekse kubikrødder.