Stationære punkter

                "en ikke forvirret isolering"
                                 giver de stationære punkter

                                                                                        (0,0)   og   (-(2/3) ; (2/3))

Ja, det fandt jeg ud af inden jeg læste svaret, ved at læse op på Maples udregninger.

- Men er fremgangs metoden rigtig for at bestemme punkternenes type? Altså ABC kriteriet?

Nu er jeg helt i tvivl igen, jeg har tegnet grafen til at være:

http://i46.tinypic.com/2j1wp47.png

Det ligner da tydeligvis et lokalt miminum og maksimum, og ikke to saddelpunkter som jeg er kommet fremtil. Nogle der lige kan fortælle mig om det er helt ved siden af.

ABC kriteriet:

A=(∂^2 f)/(∂x^2 ) (a,b)

B=(∂^2 f)/∂x∂y (a,b)

C=(∂^2 f)/(∂y^2 ) (a,b)

D=AC-B^2  

Mine afledte:

(∂^2 f)/(∂x^2 )=12x

(∂^2 f)/∂x∂y=-4

(∂^2 f)/(∂y^2 )=-12y

Punkt 1:

A=(∂^2 f)/(∂x^2 ) (0,0)=0

B=(∂^2 f)/∂x∂y (0,0)=-4

C=(∂^2 f)/(∂y^2 ) (0,0)=0

D=0*0-(-4)^2=-16

Da d er under nul, saddelpunkt?

Punkt 2:

A=(∂^2 f)/(∂x^2 ) (-2/3,2/3)=-8

B=(∂^2 f)/∂x∂y (2/3,2/3)=-4

C=(∂^2 f)/(∂y^2 ) (2/3,2/3)=8

D=-8*8-(-4)^2=-80

Da d er under nul, saddelpunkt?

  alment:

  ekstrema for f(x,y) er kun mulige i

                               i)   et grænsepunkt for Dm(f(x,y))

                               ii)  et indre punkt, hvor f_x = f_y = 0 eller punkter hvor f_x eller f_y ikke er definerede

  de såkaldte kritiske punkter for f(x,y).

  Hvis funktionen f(x,y) og dens første og anden partielt afledede er kontinuerte i en åben skive
  indeholdende (a,b) og hvis f_x(a,b) = f_y(a,b) = 0
  så

                               i)   f_xx < 0 and f_xx • f_yy - f_xy² > 0 i (a,b)      ⇒   lokalt maksimum

                               ii)  f_xx > 0 and f_xx • f_yy - f_xy² > 0 i (a,b)      ⇒   lokalt minimum

                               iii) f_xx • f_yy - f_xy²< 0 i (a,b)      ⇒   saddelpunkt

                               iv) f_xx • f_yy - f_xy² = 0 i (a,b)      ⇒   intet kan konkluderes
 

                       f(x,y) = 2x³ - 2y³ - 4xy + 5

                                    f_x = 6x² - 4y

                                    f_y = -6y² - 4x

                                    f_xx = 12x

                                    f_yy = -12y

                                    f_xy = -4

#5 Det er de samme afledte jeg skrev i mit indlæg. Når jeg ser i min gamle bog om funktioner af flere variable, så står der af for A=f_xx og B=f_xy og C=f_yy og D=AC-B kan man afgøre typen af punktet, og når jeg udregner dem får jeg at:

Punkt 1:

A=(∂^2 f)/(∂x^2 ) (0,0)=0

B=(∂^2 f)/∂x∂y (0,0)=-4

C=(∂^2 f)/(∂y^2 ) (0,0)=0

D=0*0-(-4)^2=-16

Og iflg. bogen så hvis D < 0 så er (a,b) et saddelpunkt. Men jeg har lagt billede op, der ligner det bare ikke et saddelpunkt? Jeg får samme resultat for det andet punkt, der er D også under nul, er det mig der læser billedet forkert, eller kan man ikke bruge ABC kriteriet i denne sammenhæng?