Hjælp - haster - sandsynlighed

Opg. 1

Lad X tælle antal plat i de fire kast. Så er x binomialfordelt: X ~ b(n=4, p=0,5) og  sandsynligheden for x antal plat i fire kast er:

P(X=x) = K(4,x) p^x (1-p)^4-x= K(4,x) (1/2)⁴ = K(4,x)(1/16), K(4,x) = 4!/(x!(4-x)!) er binomialkoefficienten.

C er hændelsen: plat forekommer højst 1 gang i de fire kast: P(C) = P(X=0) + P(X=1) = ...udregn (= 5/16)

D er hændelsen: både plat og krone forekommer d.v.s der skal mindst være 1 og højst 3 plat i de fire kast:

P(D) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = ... udregn  (= 7/8)

Hændelserne C og D er uafhængige, hvis: P(C∩D) = P(C) P(D).

C∩D er hændelsen: Plat forekommer netop 1 gang: P(C∩D) = P(X=1) = ...udregn (= 1/4)

P(C) P(D) = (5/16)(7/8) = 35/128 > 1/4. Ergo er hændelserne C og D ikke uafhængige.

P(X) på listeform (ved ikke, om det er det, der efterlyses):

X |   0    |   1   |   2    |   3   |   4    |

P | 1/16 | 4/16 | 6/16 | 4/16 | 1/16 |

Opg. 2.

A∪B er hændelsen: mindst én af de to uafhængige hændelser indtræffer. Der gælder:

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).

Da A og B er uafhængige gælder: P(A∩B) = P(A) P(B) = ½ ½ = 1/4.

P(A∪B) = (1/2) + (1/2) - (1/4) = 3/4.

Opg. 3.

Brug samme formel som i opg. 2.:

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B) (da A og B igen er uafhængige)

Isolér P(B): P(A∪B) = P(A) + (1 - P(A)) P(B) ⇒ (1 - P(A)) P(B) = P(A∪B) - P(A) ⇒

P(B) = [P(A∪B) - P(A)]/[1 - P(A)] = [0,68 - 0,20]/[1 - 0,20] = 0,48/0,80 = .0,60 = 60%