Matematik
oliefelt. Beregning af M'(0) med mere.
Jeg har lidt problemer med nogle af opgaverne i nedenstående opgave.
dM/dt=0,0005M*(160-M)
Det oplyses at M(0)=8. (1)Bestem en forskrift for M: Her har jeg fået -160/(1-21*e^0,08t)
Er det rigtig?
(2)Så skal jeg bestemme tallene M'(0) hvordan gør jeg det? t=o.. men der er jo ik noget t i dM/dt=
(3)Så skal jeg bestemme M-uendelig=lim M(t) for t gående mod uendelig. Aner ik hvordan jeg skal gå frem
(4)Så skal jeg bestemme det tidspunkt t-nul, hvor halvdelen af olien i oliefeltet er udvundet. hmmm.. hvad skal jeg gøre her?
Håber nogle vil give mig et hint, så jeg kommer i den rigtige retning :-)
På forhånd tak
Svar #1
09. oktober 2005 af fixer (Slettet)
Udnyt at løsningerne til differentialligningen
M'(t) = g(M)
hvor g er en kontinuert funktion med konstant fortegn, er lig mængden af inverse funktioner til stamfunktionerne til funktionen 1/g(M). Altså, da
M'(t) = 1/2000*M(160-M)
er
g(M) = 1/2000*M(160-M)
og vi skal da bestemme samtlige stamfunktioner
t(M) = S[1/g(M)]dM
Hertil omskriver vi
1/g(M) =
2000/(M(160-M)) =
2000*((1/160)/M - (1/160)/(160-M)) =
(2000/160)*(1/M - 1/(160-M))
ergo er
t(M) = 2000/160*S[1/M-1/(160-M)]dM =
2000/160*ln(M/(160-M))+C, C reel
Find nu den inverse funktion og bestem C således at M(0)=8.
[Det korrekte svar er
M(t) = 160exp(0.08t)/(19+exp(0.08t))
]
2) Udnyt at M jo opfylder differentialligningen, derfor er
M'(0) = 1/2000*M(0)(160-M(0))
og M(0) kender du.
3) Divider funktionsforskriften for M(t) med exp(0.08t) i tæller og nævner. Benyt derefter at
exp(-ax) -> 0+ for x->infty, a > 0
og bestem heraf M(t) for t gående mod infty (uendelig).
4) Du oplyser ikke hvad funktionen M udtrykker. Det må vi først have oplyst.
Svar #2
09. oktober 2005 af celgrun (Slettet)
Her er hvad jeg tænkte:
dM/dt=0,0005M*(160-M)=> dM/dt=M(0,08-0,0005M)
Så bruger jeg reglen: dy/dx=y(b-ay) <=>
(b/a)/(1+ce^-bx)... så når M(0)=8
Altså:(0,08/0,0005)/(1+ce^-0,08*0) <=> c=-21
Derved er M(t)= -160/1-21*e^(-0,08*t)
Forstår ikke hvad der er galt i det..?
Hvorfor kan jeg ikke bruge den formel?
Men ellers tak for hjælpen til de andre svar også...
Svar #3
09. oktober 2005 af celgrun (Slettet)
Jeg mente dy/dx=y(b-ay) <=> y=(b/a)/(1+ce^(-bx))
Svar #4
09. oktober 2005 af fixer (Slettet)
M(t) = 160exp(0.08t)/(19+exp(0.08t))
skal være:
M(t) = 160exp(0.08t)/(1+19exp(0.08t))
Din regel er helt den samme som min blot anvendt på et specieltilfælde. Min kan altid bruges under de nævnte forudsætninger.
Det glipper i din bestemmelse af C. Det re korrekt at samtlige stamfunktioner er
M(t)=160/(1+Cexp(-0.08t))
helt som i mit indlæg. Men
M(0) = 8 <=>
160/(1+C) = 8 <=>
C = 19
Svar #5
09. oktober 2005 af celgrun (Slettet)
Så vil jeg sige 0,08/-0,0005 = -160
-160/(1+c)=8 <=> c= -20-1 = -21
eller også er jeg helt galt på den...
Svar #6
09. oktober 2005 af fixer (Slettet)
dy/dx = y(b-ay) (1)
har løsningerne
y(x) = (b/a)/(1+c*exp(-bx)) (2)
Den forelagte ligning lyder
dM/dt = 1/2000*M(160-M) =
M((2/25)-M/2000) (3)
Sammenlignes (1) med (3) identificeres
a = 1/2000
b = 2/25
Løsningerne må af (2) så være
M(t) = (2000*2/25)/(1+c*exp(-2t/25))
= 160/(1+c*exp(-2t/25))
Svar #7
09. oktober 2005 af celgrun (Slettet)
Angående (2) er det så sådan:
M'(0)= 0,0005*M(0)*((160)-M(0))
M'(0)= 0,0005*8*152
M'(0)=0,608?
(3) Forstår ikke helt dine forkortelser i den sidste del af (3)
Men ellers tak for hjælpen
Svar #8
09. oktober 2005 af fixer (Slettet)
M(t) = 160/(1+19exp(-2t/25)), t >= 0
som jeg i #1 ville fremskaffe af mit eget udtryk ved en passend division med exp(2t/25).
Du skal nu blot benytte at exp(-2t/25)->0+ for x->infty, hvilket betyder at grænseværdien er 0 fra højre.
Skriv et svar til: oliefelt. Beregning af M'(0) med mere.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.