Bestem Egenværdier samt Egenvektorer

En egenvektor for en matrix A hørende til egenværdien λ er en egentlig vektor x , der opfylder

A x = λ x .

Der er tre forskellige egenværdier forden viste matrix, så hvert af egenrummene har dimension 1.

Den har jeg forstået og alligevel ikke forstået.

Eksempelvis:

Tager vi lambda = -9,

så bliver den nye matrice således:

7 24 0

4 27 0

0  0  0

ikke?

hvad gør jeg så nu?

#2

I ental hedder det en matrix, ikke en matrice.

Man skal så løse ligningssystemet

7 24 0        x₁         0

4 27 0   ·   x₂     =  0

0  0  0        x₃         0 ,

dvs

7·x₁ + 24·x₂ = 0
4·x₁ + 27·x₂ = 0
0·x₃ = 0

der har løsningen x₁ = 0 , x₂ = 0, x₃ = vilkårlig. En egenvektor er derfor vektoren [0 ; 0 ; 1].

det er gauss jordan elimination du har foretaget der ikke?

#4

Næh, ikke specielt. Det er da let nok at løse undersystemet i x₁ , x₂ . Determinanten er ≠ 0 , og det ses let, at  x₁ = 0 , x₂ = 0 er en løsning, så der er ikke andre løsninger for  x₁ , x₂ .

hvordan løser du den decideret?, er det en isolering du foretager?,

hvad så hvis det var -6?:

4 24 0

4 24 0

0 0 -3

4 • x₁+24•x₂=0

4 • x1+24•x2=0

??

#6

Der skal man så løse ligningssystemet

4·x₁ + 24·x₂ = 0
4·x₁ + 24·x₂ = 0

-3·x₃ = 0

Der får man så x₃ = 0, og x₁ = -6·x₂ , så en egenvektor er vektoren [-6 ; 1 ; 0].

#8

ahhh, tusind tak for hjælpen.

Lige en sidste ting hvis du har mod for det.

Det er min opgave 2 som siger, Benyt resultatet heraf til at afgøre om der findes en egentlig vektor x, som opfylder, at Ax=x?

hva menes der med dette?

#8

Hvis det var tilfældet, ville λ = 1 være en egenværdi for matricen A. Men da dens egenværdier er fundet til -6, -9 og 22, findes der ikke nogen egentlig vektor x, der opfylder Ax = x .