Vektorer i 3D

Bestem først ligningen for planen α gennem A, B og C. Indsæt så punkt D's koordinater i formlen for afstanden fra et punkt til en plan.

Hvis d er den beregnede afstand, og n er en normalvektor til planen α, findes projektionen P_D D på α som det ene af de to punkter med stedvektoren

OP_D = OD ±d·n/|n|

Ligningen for planen α bestemmes således:

vektor AB = (1-4, 6-0, 4-0) = (-3,6,4)

vektor AC = (7-4,-2-0,-2-0) = (3,-2,-2)

Ved hjælp af krydsproduktet kan jeg bestemme normalvektoren til planen α:

vektor AB x vektor AB = (-4,6,-12) = normalvektor

Det findes vha. TI-89 CrossP ([-3,6,4],[3,-2,-2]) = (-4,6,-12)

For at finde planens ligning, så indsætter jeg normalvektoren og f.eks punktet A i ligningen:

a(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀) = 0

-4(x-4) + 6(y-0) -12(z-0) = 0

-4x + 16 + 6y -12z = 0

-4x +6y -12z + 16 = 0

Nu kan man endelig udregne afstanden fra punkt D til planen:

dist(P,α) = ι ax₁ + by₁ + cz₁ + d ι / √ a² + b² + c²

                = -4*8 + 6*(-4) + (-12)*13 + 16 / √ (-4)² + 6² + (-12)²

                = 14

#2

Ja, det ser rigtigt ud. Normalvektoren til planen findes dog som AB × AC (der er vist en tastefejl). I udtrykket for afstanden skal der benyttes parenteser omkring brøkens tæller og nævner, og omkring alle de led, som kvadratroden opererer over.

Den spidse vinkel mellem planen α og xy-planen findes som den spidse vinkel mellem de to planers normalvektorer.

Jeg vil gerne finde koordinaterne til projektionen af D på α:

Kan du uddybe denne svar

Hvis d er den beregnede afstand, og n er en normalvektor til planen α, findes projektionen PD D på α som det ene af de to punkter med stedvektoren

#4

Det er jo uddybet i form af selve udtrykket. Man kommer til projektionen P_D af punktet D på α ved først at gå til punktet D og så gå afstanden ±d i retningen af planens normalvektor n . Med det rigtige fortegnsvalg kommer man til punktet P_D .

                  OP_D = OD  ± ( d/|n| )·n

                  OP_D = OD  ± ( 14 / 14 )·n

hvor
                  OP_D = OD  + n = [8,-4,13] + [-4,6,-12] = [4,2,1]
matcher
                  
                  -4•4 + 6•2 - 12•1 + 16   =   0

    Da en stedvektor og det punkt, den er stedvektor for, har samme koordinater,
    er
                  P_D = (4,2,1)

Jeres metode er mere simpelt og hurtigere end den metode jeg fandt frem til et resultat:

Bestem koordinaterne til projektionen af D på α:

planen ligning:                 (-4)x + 6y - 12z + 16 = 0        dvs. normalvektor = ( -4 , 6 , -12 )

fast punkt D:                     D(8,-4,13)

parameterfremstilling:   x = 8 - 4t      y = (-4) + 6t      z = 13 - 12t

                                            -4(8-4t) + 6((-4)+6t) - 12(13-12t) + 16 = 0

                                             -32 + 16t - 24 + 36t - 156 + 144t + 16 = 0

                                              196t - 196 = 0

                                               196t           = 196

                                                t                 = 196/196

                                                t                 = 1

Dvs. koordinaterne er:    x = 8 -4*1   y = (-4) + 6*1    z = 13 -12*1

                                               = 4             =  2                    = 1

Hvordan klarer jeg det sidste spørgsmål

Bestem den spidse vinkel mellem α og xy-plan?

?jeg skal bruge formlem:

cos v = normalvektor prik normalvektor (retningsvektor) / √normalvektor * normalvektor (retningsvektor)

#8

Læs forklaringen sidst i #3.

Find en normalvektor for xy-planen, og benyt vektoren n som normalvektor til planen α .

"Den spidse vinkel mellem planen α og xy-planen findes som den spidse vinkel mellem de to planers normalvektorer."

       xy-planen har bl.a. normalvektoren
                                                                            n₁ = [0,0,1]

                             | n • n₁ | = |n| • |n₁| • cos(v_spids)

                             | [-4,6,-12] • [0,0,1] | = 14 • 1 • cos(v_spids)

                             12 = 14 • cos(v_spids)

                             v_spids = cos^-1(6/7) = 31,0º