Matematik
2 matematik opgaver!
14. oktober 2005 af
Liv2004 (Slettet)
Hej er der ikke nogen som har løst til at hjælpe mig med disse to opgaver fordi jeg er helt lost:
Opgave 1)
I et koordinatsystem i rummet er givet to punkter
A(3, -2 ,0)
B(2 ,1 , 2)
Bestem en parameterfremstilling for den linie l der går gennem A og B, og bestem en parameterfremstillingen for liniestykket AB:
En plan alfa har ligningen
x+2y-z=11
Gør rede for at planen alfa skærer linien l i et punkt der ikke ligger på liniestykket AB:
Løsning:
l : (x,y,z) = A + t * AB <=>
(x,y,z) = (3, -2 , 0) + t * (2-3 , 1+2 , 2+0) <=>
(x,y,z) = (3, -2 , 0) + t * (-1 , 3 ,2) , tER
( lige et lille spørgsmål kunne man så ikke skrive (x,y,z) = A + t * BA eller (x,y,z) = B + t * AB eller (x,y,z) = B + t * BA) vil det også være et korrekt facit.
Så ved jeg ikke lige hvordan jeg skal lave de to sidste:
Jeg ved godt at
lABl: (x,y,z) = (3, -2 , 0) + t * (-1 , 3 ,2) , tE (men hvordan skal jeg finde det rigtige interval )
opgave 2)
En pyramide har kvadratisk grundflade i xy- planen med hjørnerne A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0) og D(0,0,2). Det oplyses at toppunktet har positivt z-koordinat, og at alle skrå kanter har længden sqrt(11)
a) bestem pyramidens højde og koordinatsættet til toppunktet T
b) Bestem vinklerne i trekant ABT
vis at planen med ligningen 3y-z=0 indeholder sidefladen ABT
c) Bestem toplansvinklen mellem pyramidens grundflade og en sideflade
d) Bestem toplansvinklen mellem to sideflader
e) Bestem centrum og radius i pyramidens omskrevne kugle.
f) Bestem centrum og radius i pyramidens indskrevne kugle, det vil sige den kugle der har alle 4 sideflader som (del af) tangentplaner til kuglen.
Løsning:
a) ?
b)
Længden AT = sqrt(11)
Længden BT = sqrt(11)
Længden af AB = sqrt ( (2-0)^2 + (0-0)^2 + (0-0)^2) = 4
Så skal man bare bruge cosinusrelationerne til at finde de forskellige vinkler ikke:
c) ?
d) ?
e) ?
f) ?
På forhånd tak
Håber at der er nogen som har løst til at hjælpe mig
med venlig hilsen
liv rasmussen
Opgave 1)
I et koordinatsystem i rummet er givet to punkter
A(3, -2 ,0)
B(2 ,1 , 2)
Bestem en parameterfremstilling for den linie l der går gennem A og B, og bestem en parameterfremstillingen for liniestykket AB:
En plan alfa har ligningen
x+2y-z=11
Gør rede for at planen alfa skærer linien l i et punkt der ikke ligger på liniestykket AB:
Løsning:
l : (x,y,z) = A + t * AB <=>
(x,y,z) = (3, -2 , 0) + t * (2-3 , 1+2 , 2+0) <=>
(x,y,z) = (3, -2 , 0) + t * (-1 , 3 ,2) , tER
( lige et lille spørgsmål kunne man så ikke skrive (x,y,z) = A + t * BA eller (x,y,z) = B + t * AB eller (x,y,z) = B + t * BA) vil det også være et korrekt facit.
Så ved jeg ikke lige hvordan jeg skal lave de to sidste:
Jeg ved godt at
lABl: (x,y,z) = (3, -2 , 0) + t * (-1 , 3 ,2) , tE (men hvordan skal jeg finde det rigtige interval )
opgave 2)
En pyramide har kvadratisk grundflade i xy- planen med hjørnerne A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0) og D(0,0,2). Det oplyses at toppunktet har positivt z-koordinat, og at alle skrå kanter har længden sqrt(11)
a) bestem pyramidens højde og koordinatsættet til toppunktet T
b) Bestem vinklerne i trekant ABT
vis at planen med ligningen 3y-z=0 indeholder sidefladen ABT
c) Bestem toplansvinklen mellem pyramidens grundflade og en sideflade
d) Bestem toplansvinklen mellem to sideflader
e) Bestem centrum og radius i pyramidens omskrevne kugle.
f) Bestem centrum og radius i pyramidens indskrevne kugle, det vil sige den kugle der har alle 4 sideflader som (del af) tangentplaner til kuglen.
Løsning:
a) ?
b)
Længden AT = sqrt(11)
Længden BT = sqrt(11)
Længden af AB = sqrt ( (2-0)^2 + (0-0)^2 + (0-0)^2) = 4
Så skal man bare bruge cosinusrelationerne til at finde de forskellige vinkler ikke:
c) ?
d) ?
e) ?
f) ?
På forhånd tak
Håber at der er nogen som har løst til at hjælpe mig
med venlig hilsen
liv rasmussen
Svar #1
15. oktober 2005 af fixer (Slettet)
Opg 1)
a) Parameterfremstillingen er netop fremkommet ved følgende ensbetydende regninger
r(t) = OA + t(OB-OA) <=>
r(t) = OA + t*AB, t E R
Liniestykket mellem punkterne A og B svarer jo så til at varierer mellem parameterværdierne t=0 og t=1, thi
r(0) = OA
r(1) = OA + AB = OB
ifølge indskudssætningen.
b) Skæringen mellem l og alfa bestemmes ved at indsætte koordinatfunktionerne i parameterfremstillingen på de respektive pladser i planens ligning og løse med hensyn til t. Gør det og du vil se at den fundne parameterværdi ikke tilhører intrevallet [0,1], og derfor ligger skæringspunktet ikke på liniestykket AB.
Opg 2)
De oplyste punkter danner et tetraeder, ikke en kvadratisk grundplan i en pyramide. Antageligvis skal D(2,2,0), men det må vi lige have opklaret.
a) Parameterfremstillingen er netop fremkommet ved følgende ensbetydende regninger
r(t) = OA + t(OB-OA) <=>
r(t) = OA + t*AB, t E R
Liniestykket mellem punkterne A og B svarer jo så til at varierer mellem parameterværdierne t=0 og t=1, thi
r(0) = OA
r(1) = OA + AB = OB
ifølge indskudssætningen.
b) Skæringen mellem l og alfa bestemmes ved at indsætte koordinatfunktionerne i parameterfremstillingen på de respektive pladser i planens ligning og løse med hensyn til t. Gør det og du vil se at den fundne parameterværdi ikke tilhører intrevallet [0,1], og derfor ligger skæringspunktet ikke på liniestykket AB.
Opg 2)
De oplyste punkter danner et tetraeder, ikke en kvadratisk grundplan i en pyramide. Antageligvis skal D(2,2,0), men det må vi lige have opklaret.
Svar #2
15. oktober 2005 af Liv2004 (Slettet)
er ikke helt med på hvad du mener med opgave 1)
ang. det med bestem en parameterfremstillingen for liniestykket AB:
(3-t)+2*(-2+3t)-(2t)=11
3-t-4+6t-2t=11
3t-1=11
3t=12
t=4
x: 3+4*-1 = -1
y: -2+4*3 = 10
z: 0+4*2
opgave 2)
jeg har tjekket opgaven der står det samme.
ang. det med bestem en parameterfremstillingen for liniestykket AB:
(3-t)+2*(-2+3t)-(2t)=11
3-t-4+6t-2t=11
3t-1=11
3t=12
t=4
x: 3+4*-1 = -1
y: -2+4*3 = 10
z: 0+4*2
opgave 2)
jeg har tjekket opgaven der står det samme.
Svar #4
16. oktober 2005 af fixer (Slettet)
Kunne du ikke være lidt mere præcis i angivelsen af hvad i opg 1 du ikke er med på ?
Svar #5
16. oktober 2005 af Liv2004 (Slettet)
Opgave 1)
løsning
l:(x,y,z) =OA + t* AB , tER =>
l:(x,y,z) = (3,-2,0) + t * ( 2-3 , 1-(-2) , 2-0) <=>
l:(x,y,z) = (3,-2,0) + t * ( -1 , 3 , 2) ,tER
den med liniestykket AB: det er taget fra bogen:
Lad A og B være to punkter i rummet. Punktet P bestemmes ved
Vektor AP = t* vektor AB
Ligger på liniestykket AB netop hvis tE[0;1]
Stedvektoren til et sådan punkt er altså givet ved:
Vektor OP = vektor OA + t * vektor AB = vektor OA + t * (vektor OB- vektor OA) = (1-t) vektor OA + t* vektor OB , tE[0;1]
Hvis koordinatsættene til punkterne A og B er kendte og navngivne på sædvanlig måde fås af ovenstående overvejelser at liniestykket AB har følgende parameterfremstilling:
(x,y,z) = (a1 , a2, a3) + t* (b1-a1, b2-a2, b3-a3) , tE[0;1]
skal jeg så bare skrive til min besvarelse følgende:
Fra teorien ved vi at parameterfremstillingen for liniestykket AB må være:
lABl:(x,y,z) = (3,-2,0) + t * ( -1 , 3 , 2) , tE[0;1]
gør rede for at planen alfa skærer linien l i et punkt, der ikke ligger på liniestykket AB:
x+2y-z=11
ved at indsætte x, y og z fra parameterfremstillingen l kan vi finde t:
(3-t) + 2* (-2+3t) – (0+2t) = 11 <=>
3-t -4 + 6t – 2t = 11<=>
3t – 1 = 11<=>
3t = 12 <=>
t = 12 / 3<=>
t = 4
ved at indsætte t ind i parameterfremstillingen kan vi finde punktet:
l:(x,y,z) = (3,-2,0) + t * ( -1 , 3 , 2) , tER
x = 3 + 4 * (-1) = -1
y = -2 + 4 * (3) = 10
z = 0 + 4 * 2 = 8
så ved jeg ikke hvordan man kan se at planen alfa skærer linie l i et punkt der ikke ligger på liniestykket AB.
men opgave 2 ved jeg ikke hvordan jeg kan løse!
løsning
l:(x,y,z) =OA + t* AB , tER =>
l:(x,y,z) = (3,-2,0) + t * ( 2-3 , 1-(-2) , 2-0) <=>
l:(x,y,z) = (3,-2,0) + t * ( -1 , 3 , 2) ,tER
den med liniestykket AB: det er taget fra bogen:
Lad A og B være to punkter i rummet. Punktet P bestemmes ved
Vektor AP = t* vektor AB
Ligger på liniestykket AB netop hvis tE[0;1]
Stedvektoren til et sådan punkt er altså givet ved:
Vektor OP = vektor OA + t * vektor AB = vektor OA + t * (vektor OB- vektor OA) = (1-t) vektor OA + t* vektor OB , tE[0;1]
Hvis koordinatsættene til punkterne A og B er kendte og navngivne på sædvanlig måde fås af ovenstående overvejelser at liniestykket AB har følgende parameterfremstilling:
(x,y,z) = (a1 , a2, a3) + t* (b1-a1, b2-a2, b3-a3) , tE[0;1]
skal jeg så bare skrive til min besvarelse følgende:
Fra teorien ved vi at parameterfremstillingen for liniestykket AB må være:
lABl:(x,y,z) = (3,-2,0) + t * ( -1 , 3 , 2) , tE[0;1]
gør rede for at planen alfa skærer linien l i et punkt, der ikke ligger på liniestykket AB:
x+2y-z=11
ved at indsætte x, y og z fra parameterfremstillingen l kan vi finde t:
(3-t) + 2* (-2+3t) – (0+2t) = 11 <=>
3-t -4 + 6t – 2t = 11<=>
3t – 1 = 11<=>
3t = 12 <=>
t = 12 / 3<=>
t = 4
ved at indsætte t ind i parameterfremstillingen kan vi finde punktet:
l:(x,y,z) = (3,-2,0) + t * ( -1 , 3 , 2) , tER
x = 3 + 4 * (-1) = -1
y = -2 + 4 * (3) = 10
z = 0 + 4 * 2 = 8
så ved jeg ikke hvordan man kan se at planen alfa skærer linie l i et punkt der ikke ligger på liniestykket AB.
men opgave 2 ved jeg ikke hvordan jeg kan løse!
Svar #8
17. oktober 2005 af fixer (Slettet)
Opg 1)
a) Korrekt, som jeg også skrev i #1.
b) Det afgøres præcist som jeg skrev i #1 til spm b).
a) Korrekt, som jeg også skrev i #1.
b) Det afgøres præcist som jeg skrev i #1 til spm b).
Svar #9
17. oktober 2005 af fixer (Slettet)
Mht opg 2 er det min påstand, at såfremt du har skrevet koordinaterne for de oplyste punkter A,B,C,D korrekt af, så er der en fejl i bogens opgaveformulering.
Jeg kan ikke forstå sætningen
"En pyramide har kvadratisk grundflade i xy- planen med hjørnerne A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0) og D(0,0,2). "
anderledes, end at A,B,C,D alle skal ligge i xy-planet og danne et kvadrat. D ligger ikke i xy-planet. Det eneste punkt, der sammen med A,B,C vil danne en kvadratisk flade i xy-planet, er P(2,2,0). Dette vil medføre at pyramiden får toppunkt i T(1,1,3) og så ligger trekant ABT i planen med ligningen 3y-z=0, netop som den skal jvf. spm 2b).
Jeg kan ikke forstå sætningen
"En pyramide har kvadratisk grundflade i xy- planen med hjørnerne A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0) og D(0,0,2). "
anderledes, end at A,B,C,D alle skal ligge i xy-planet og danne et kvadrat. D ligger ikke i xy-planet. Det eneste punkt, der sammen med A,B,C vil danne en kvadratisk flade i xy-planet, er P(2,2,0). Dette vil medføre at pyramiden får toppunkt i T(1,1,3) og så ligger trekant ABT i planen med ligningen 3y-z=0, netop som den skal jvf. spm 2b).
Svar #10
17. oktober 2005 af fixer (Slettet)
Jeg vil gennemgå løsningen af opgave 2 under forudsætning af at D skal være D(2,2,0), og ikke D(0,0,2) som oplyst, jvf #9.
a) Da alle skrå kanter har samme længde, må toppunktet T ligge på en lodret linie gennem midtpunktet af kvadratet ABCD. Da det endvidere oplyses at T's z-koordinat er positiv, må T have et koordinatsæt på formen T(1,1,z), z>0.
Da enhver af de skrå kanter skal have længden sqrt(11), skal specielt kanten AT have denne længde. Heraf
|AT| = sqrt(11) =>
(1-0)^2 + (1-0)^2 + (z-0)^2 = 11 <=>
z^2 = 9 <=>
z = 3 \\/ z = -3
Men løsningen z=-3 kan forkastes, da det oplyses at T's 3.koordinat er positiv. Altså har toppunktet koordinaterne
T(1,1,3)
b) Sidelængderne i trekant ABT er
|AB| = 2
|AT| = |BT| = sqrt(11)
Af cosinusrelationen fås så for vinkel T
|AB|^2 = |AT|^2 + |BT|^2 - 2|AT||BT|cos(T)
Talindsættelse giver:
T = 35.10 grader
Trekant ABT er ligebenet med |AT|=|BT|. Derfor ar vinklerne A og B lige store. De findes af
A = B = (180-T)/2 = 72.45 grader
Der er flere måder at vise at ABT ligger i planen med ligningen 3y-z=0. Den nemmeste er at indsætte punkterne A, B og T og vise at de hver især tilfredsstiller ligningen, altså må de ligge i samme plan. En anden måde er en bestemme ligningen for planen. Dertil skal blot bruges en normalvektor til fladen indeholdende trekant ABT (f.eks. (0,-3,1) og et punkt på planen (f.eks. A)).
c) Da toppunktet T ligger på grundfladens symmetriakse er alle toplansvinklerne mellem grundfladen og en sidefalde ens. Det er derfor ligegyldigt hvilken sideflade vi vælger at betragte. Tag f.eks. siden ABT. Toplansvinklen mellem grundfladen og ABT er vinklen mellem to vektorer a og b i samme lodrette plan, hvor a ligger i plan med ABT og b i grundfladen. To sådanne vektorer er
a= [MT]
b= [MC]
hvor M er midtpunktet af liniestykket AB,
M = (1,0,0)
og C er toppunktets projektion på grundfladen, C(1,1,0). Heraf
a=(1,1,3)-(1,0,0) = (0,1,3)
b=(1,1,0)-(1,0,0) = (0,1,0)
Udregn skalarproduktet a*b, længderen |a|, |b| og find vinklen (a,b) udfra definitionen på skalarproduktet.
d) Samme princip som i c). Prøv selv at finde relevante vektorer og dan skalarprodukt.
e) Den omskrevne kugle må have centrum på symmetriaksen gennem grundfladens midtpunkt, thi det er den eneste linie hvorpå der kan eksistere et punkt med samme afstand til alle 5 hjørner A,B,C,D,T.
Centrum har derfor koordinaterne C(1,1,c), c>0 og vi søger c. Da kuglen skal gå gennem alle punkterne A,B,C,D,T, må der specielt gælde
|AC| = |CT| =>
(1-0)^2+(1-0)^2+(c-0)^2=(1-1)^2+(1-1)^2+(3-c)^2 <=>
c^2 + 2 = (3-c)^2 <=>
c = 7/6
Centrummets koordinater er derfor C(1,1,7/6).
Radius findes hurtigst ved at udnytte at kuglen indeholder punktet T, altså må
r=|CT| = 3-7/6 = 11/6
f) Den indskrevne kugle tangerer alle 5 sideflader. Der skal altså gælde, at afstanden fra dens centrum C vinkleret ud til enhver af sidefladerne skal være den samme for alle sidefladerne.
Af samme grund som i e) må også denne kugles centrum ligge på symmetriaksen og have koordinater på formen C(1,1,c), c>0.
Afstanden mellem C og grundfladen ses umiddelbart at være c. Afstanden mellem C og sidefladen ABT kan findes, idet vi i b) har fundet en ligning for den plan, der indeholder treaknt ABT til 3y-z=0.
Opskrives ligningen på normalformen
(3y-z)/2 = 0
vil indsættelse af punktet C direkte give afstanden mellem planen og C. Da denne afstand skal være den samme som mellem C og grundfladen, haves ligningen
(3*1-c)/2 = c <=>
c = 1
Kuglens centrum er altså C(1,1,1). Radius ses umiddelbart at være r=1.
a) Da alle skrå kanter har samme længde, må toppunktet T ligge på en lodret linie gennem midtpunktet af kvadratet ABCD. Da det endvidere oplyses at T's z-koordinat er positiv, må T have et koordinatsæt på formen T(1,1,z), z>0.
Da enhver af de skrå kanter skal have længden sqrt(11), skal specielt kanten AT have denne længde. Heraf
|AT| = sqrt(11) =>
(1-0)^2 + (1-0)^2 + (z-0)^2 = 11 <=>
z^2 = 9 <=>
z = 3 \\/ z = -3
Men løsningen z=-3 kan forkastes, da det oplyses at T's 3.koordinat er positiv. Altså har toppunktet koordinaterne
T(1,1,3)
b) Sidelængderne i trekant ABT er
|AB| = 2
|AT| = |BT| = sqrt(11)
Af cosinusrelationen fås så for vinkel T
|AB|^2 = |AT|^2 + |BT|^2 - 2|AT||BT|cos(T)
Talindsættelse giver:
T = 35.10 grader
Trekant ABT er ligebenet med |AT|=|BT|. Derfor ar vinklerne A og B lige store. De findes af
A = B = (180-T)/2 = 72.45 grader
Der er flere måder at vise at ABT ligger i planen med ligningen 3y-z=0. Den nemmeste er at indsætte punkterne A, B og T og vise at de hver især tilfredsstiller ligningen, altså må de ligge i samme plan. En anden måde er en bestemme ligningen for planen. Dertil skal blot bruges en normalvektor til fladen indeholdende trekant ABT (f.eks. (0,-3,1) og et punkt på planen (f.eks. A)).
c) Da toppunktet T ligger på grundfladens symmetriakse er alle toplansvinklerne mellem grundfladen og en sidefalde ens. Det er derfor ligegyldigt hvilken sideflade vi vælger at betragte. Tag f.eks. siden ABT. Toplansvinklen mellem grundfladen og ABT er vinklen mellem to vektorer a og b i samme lodrette plan, hvor a ligger i plan med ABT og b i grundfladen. To sådanne vektorer er
a= [MT]
b= [MC]
hvor M er midtpunktet af liniestykket AB,
M = (1,0,0)
og C er toppunktets projektion på grundfladen, C(1,1,0). Heraf
a=(1,1,3)-(1,0,0) = (0,1,3)
b=(1,1,0)-(1,0,0) = (0,1,0)
Udregn skalarproduktet a*b, længderen |a|, |b| og find vinklen (a,b) udfra definitionen på skalarproduktet.
d) Samme princip som i c). Prøv selv at finde relevante vektorer og dan skalarprodukt.
e) Den omskrevne kugle må have centrum på symmetriaksen gennem grundfladens midtpunkt, thi det er den eneste linie hvorpå der kan eksistere et punkt med samme afstand til alle 5 hjørner A,B,C,D,T.
Centrum har derfor koordinaterne C(1,1,c), c>0 og vi søger c. Da kuglen skal gå gennem alle punkterne A,B,C,D,T, må der specielt gælde
|AC| = |CT| =>
(1-0)^2+(1-0)^2+(c-0)^2=(1-1)^2+(1-1)^2+(3-c)^2 <=>
c^2 + 2 = (3-c)^2 <=>
c = 7/6
Centrummets koordinater er derfor C(1,1,7/6).
Radius findes hurtigst ved at udnytte at kuglen indeholder punktet T, altså må
r=|CT| = 3-7/6 = 11/6
f) Den indskrevne kugle tangerer alle 5 sideflader. Der skal altså gælde, at afstanden fra dens centrum C vinkleret ud til enhver af sidefladerne skal være den samme for alle sidefladerne.
Af samme grund som i e) må også denne kugles centrum ligge på symmetriaksen og have koordinater på formen C(1,1,c), c>0.
Afstanden mellem C og grundfladen ses umiddelbart at være c. Afstanden mellem C og sidefladen ABT kan findes, idet vi i b) har fundet en ligning for den plan, der indeholder treaknt ABT til 3y-z=0.
Opskrives ligningen på normalformen
(3y-z)/2 = 0
vil indsættelse af punktet C direkte give afstanden mellem planen og C. Da denne afstand skal være den samme som mellem C og grundfladen, haves ligningen
(3*1-c)/2 = c <=>
c = 1
Kuglens centrum er altså C(1,1,1). Radius ses umiddelbart at være r=1.
Skriv et svar til: 2 matematik opgaver!
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.