Udledning af løsningsformel for homogen ligning

Du bør være bekendt med, at en stamfunktion til (1/y) er ln(y) . Derfor er

∫ (1/y) dy = ln(y)    ( +k)  .

Det var da godt nok et ulæseligt billede. Beklager. Her er et bedre (håber jeg)

Det er jo netop ikke 1/y, men en størrelse, der hedder dy divideret med y. :/

#2

Det ændrer ikke noget ved forklaringen i #1.

#3

Altså, dy er jo en del af integralet. Der bestemmes en stamfunktion til (1/y) .

#4 Jeg har allerede stillet spørgsmål til den forklaring. dy er et differential, og hvordan er det lige, at det bliver til 1 lige pludselig? Det er det, jeg ønsker en forklaring på.

#6

Genlæs #5. Man bestemmer en stamfunktion til (1/y) med y som variabel.

∫ (1/y) dy = ln(y) + k

Man benytter separation af de variable. Venstresiden er en funktion af y alene, og højresiden er en funktion af x alene.

Og hvorfor gør man lige det? Du svarer ikke på mit spørgsmål. Det, jeg integrerer, er jo tilsyneladende dy/y og ikke 1/y ... det er tydeligvis ikke rigtigt, men hvorfor er det ikke det? Hvordan bliver dy pludselig til 1? hvad sker der? At du gentager, at det er 1/y, jeg integrerer, forklarer ikke for mig, hvorfor det er 1/y ...

#8

Nej, man integrerer (1/y) med hensyn til y. Det er jo derfor, der står ∫ ... dy . Der er ikke noget, der pludselig bliver til 1. Du har tilsyneladende ikke forstået notationen i et integral.

#7

Jeg er udmærket klar over, hvad det er, jeg gør, men det giver for mig meget lidt algebraisk mening, at noget pludselig går fra at være dy til at være 1. Selv hvis jeg opfatter dy som en konstant, hvad jeg egentlig har gjort, kan jeg ikke se, hvordan det er 1.

#9
Jeg forstår udmærket godt notationen i et integral, og jeg ved, at vi integrerer mht y (for hvad skulle vi da ellers integrere med hensyn til?!). Du nægter at læse mit spørgsmål og skyder nedladende standardsvar i fjæset på mig. Hvad er dog formålet med det?

#10

Som sagt før, er der ikke noget der pludselig bliver til 1. Der er tale om at beregne integralet ∫ (1/y) dy . Hvis du kan forstå højresiden i den vedlagte ligning, burde du også kunne forstå venstresiden.

∫ (1/y) dy = - ∫ h(x) dx  + k

ln(y) = -H(x) + k

hvor ln(y) er en stamfunktion til (1/y) , og H(x) er en stamfunktion til h(x) .

Der står ingen steder " ∫ (1/y) dy"! Der står  " ∫ (dy/y) "! Det er denne notation, eller hvad det nu er, jeg ønsker en forklaring på.

#13

Og det er jo det samme. Jeg kan jo ikke skrive det med vandret brøkstreg her i dette format.

∫ dy / y = ∫ (1/y) dy

a/y = (1/y)·a

Jeg ved godt, at skråstreg betyder brøkstreg her. Imidlertid fremgår det, som du skriver, altså ∫ dy / y =∫ 1 / y dy ingen steder af beviset. Jeg tager gerne, hvad du siger, for gode varer, og det går også op med fremgangsmåden i bogen.

Det er mig dog meget uklart, hvordan jeg skal forstå denne notation, hvor dy ikke 'afslutter' integralet, men befinder sig ovenpå brøkstregen, når fremgangsmåden ifm. separation af variable forsåvidt følger almindelig algebra og notation - og dx fra det oprindelige dy/dx fungerer som en del af integraltegnet på sædvanlig vis.

Og hvorfor det egentlig er - altså ud over, at det får beviset til at gå op -, at jeg skal tolke ∫ dy / y som ∫ 1 / y dy. Der må jo eksistere en forklaring, der er bedre end blot en påstand. En påstand er ikke en forklaring. En forklaring kræver en argumentation ... eller slet og ret en forklaring.

#15

Det er da heller ikke noget, der behøver at fremgå af beviset. Det er noget, der forudsættes bekendt, at der er forskellige typografiske måder at skrive bestanddelene i et integral.

Under integralet er dy at betragte som en faktor. Om man skriver den først eller sidst, i tælleren af en brøk eller som en særskilt faktor bagefter brøken er i princippet underordnet.

∫ (1/y) dy = ∫ dy / y = ∫ dy (1/y)

Det forstår jeg ... Og det havde jeg gættet mig til, for det var sådan, det kunne give mening.

Men okay. Det hele bunder altså i, at differentialsymbolerne kan være vilkårligt placeret og jeg i fremtiden, skulle jeg støde på et eller andet, hvor der pludselig er et differentialsymbol et uvant sted, skal opfatte det som simpelthen gangen på 1?

#17

dy / y = 1·dy/y = (1/y) dy

Ofte udelader man en faktor 1 i et produkt .

At dividere med y er det samme som at gange med (1/y) . Når der divideres med y, ganges der åbenlyst med den reciprokke værdi af y.

#18

Dét var en god forklaring - det havde jeg slet ikke overvejet. Tak for det.

#17

Man vil nok sjældent se differentialet først i integralet, men det kan forekomme; det mest almindelige er det efterstillede differential. Hvis funktionsudtrykket indeholder en brøk, specielt hvis tælleren er 1, kan man gøre integralet lidt mere kompakt ved at skrive differentialet som selve tælleren. Under alle omstændigheder er differentialet en vigtig bestanddel af integralet, idet det angiver den variabel, der skal integreres efter