Matematik
forening af lukket og åben mængde
Uendeligt mange åbne mængder kan forenes og stadig være åbne, men kun endelig mange mængder kan forenes og stadig være afsluttede.
Jeg har et bevis for dette, men i beviset nævnes ikke rigtig hvad det er, som gør at intet ændrer sig ved at forene uendeligt mange af den ene type men ændrer sig for den anden type.
Kan I prøve at sige med ord, hvad fdet er som gør, at en uendelig mængde af åbne mængder kan forenes og stadig være åbne, når det samme ikke gælder for afsluttede. Jeg ved godt det virker som et mærkeligt spørgsmål, men jeg synes i beviset det virker som om, at der uanset bare skrives en endelig mængde op, og så sluttes det ene for det ene tilfældet og det andet for det andet, fordi man har nogle generelle eksempler på at åbne mængder kan forenes uendeligt til åbne men afsluttede ikke kan.
Svar #1
06. juni 2013 af ultramaniac (Slettet)
#0 At uendeligt mange åbne mængder kan forenes og stadig være åben er klart. At dette IKKE gælder for afsluttede mængder angives ved et eksempel: Fx. er [-n,n] afsluttet i den normale topologi, mens ∪n∈N[-n,n]=R er åben
Svar #2
06. juni 2013 af Andersen11 (Slettet)
Der gælder duale egenskaber når man sammenligner åne og afsluttede mængder.
1) Foreningsmængden af et vilkårligt system af åbne delmængder af et metrisk rum M er en åben delmængde af M.
har den duale sætning
1)' Fællesmængden af et vilkårligt system af afsluttede delmængder af et metrisk rum M er en afsluttet delmængde af M.
Tilsvarende har sætningen
2) Fællesmængden af et system af endeligt mange åbne delmængder af et metrisk rum M er en åben delmængde af M.
den duale sætning
2)' Forningsmængden af et system af endeligt mange afsluttede delmængder af et metrisk rum M er en afsluttet delmængde af M.
Det hele bygger på dualitetslovene for fælles- og foreningsmængder.
Svar #3
06. juni 2013 af aaaa202 (Slettet)
Jeg tror jeg har fanget hvorfor en uendelig forening af åbne mængder er åben og en endelig fællesmængde er åben. Men Andersen, som du siger, så burde egenskaberne for lukkede mængder komme ud ved at bruge dualitetsudsagnet at:
A åben <=> C(A) lukket
A lukket <=> C(A) åben
Som du siger. Men hvordan gør det det konkret? Jeg kan f.eks. sige antag A er en uendelig forening af åbne mængder. Den er åben. Så er komplementær-mængden lukket, men hvordan leder det mig til sætningerne?
Svar #4
06. juni 2013 af Andersen11 (Slettet)
#3
Man benytter her bl.a., at
(A ∪B)C = (AC) ∩ (BC)
og
(A ∩ B)C = (AC) ∪(BC)
hvor C betegner komplementærmængde.
Svar #5
07. juni 2013 af ultramaniac (Slettet)
#0 Givet en samling af delmængder (Aγ)γ∈Γ af en mængde M (hvor det giver mening om at tale om åbne mængder - metriske rum, topologiske rum, ... ), så er det klart at hvis
(*) Aγ åben for alle γ∈Γ så er ∪γ∈ΓAγ er åben
"Dualitetslovne" giver IKKE at dette ikke gælder for afsluttede mængder (de siger blot at (∪A)C=∩Ac og (∩A)c=∪Ac)
For at vise, at (*) IKKE holder generelt for afsluttede mændger, skal du finde et eksempel! Som gjort i #1
Skriv et svar til: forening af lukket og åben mængde
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.