Tredjegradspolynomium, 2 rødder og en vandret linje

Vandret tangent for x = 2
giver dig
                                                         P '(x) = 3x² + 2ax  + b = 0

Ved brug af rødderne kan du
opliste yderligere to ligninger.

#1
 

Vandret tangent for x = 2
giver dig
                                                         P '(2) = 3•2² + 2a•2  + b = 0

Ved brug af rødderne kan du
opliste yderligere to ligninger.

Jeg kan bare ikke få det til at gå op.

Prøver at faktoropløse 0 = a*(2+2)*(2-2) og får a til 0, men kan ikke finde skridtet videre....

#2

 

Vandret tangent for x = 2
giver dig
                                                         P '(2) = 3•2² + 2a•2  + b = 0

                                                    I:                  12 + 4a + b = 0

Ved brug af rødderne kan du
opliste yderligere to ligninger.
                                                        2³ + a•2² + b•2 + c = 0

                                                    II:   8 + 4a + 2b + c = 0

.

                                                        (-2)³ + a•(-2)² + b•(-2) + c = 0

                                                    III:   -8 + 4a - 2b + c = 0

.
Træk III fra II

Træk III fra II, hvorved du får en ligning kun i b.  Beregn b.
Indsæt den fundne b-værdi i I og beregn a.
Indsæt de fundne værdier for a og b i II til beregning af c.

Mange tak :)

En alternativ fremgangsmåde er denne: 3.-gradspolynomiet P(x) = x³ +ax² + bx + c er normeret, og det har de to rødder x = 2 og x = -2. Den 3. rod er derfor reel, og polynomiet har derfor formen

P(x) = (x-2) · (x+2) · (x - r) = (x² - 4) · (x - r) = x³ - r·x² - 4x +4r ,

hvor r er den 3. reelle rod. Vi benytter nu oplysningen P '(2) = 0:

P '(x) = 3x² - 2r·x -4 , hvoraf

P '(2) = 3·2² - 2r·2 -4 = 0 , dvs

r = 3 -1 = 2 .

Polynomiet er altså

P(x) = (x-2)² · (x+2) = ....