Matematik
Invers funktion.
29. oktober 2005 af
FaithBurner (Slettet)
Jeg har nu siddet ca. halvanden time og kan simpelthen ikke overskue den her matematik opgave med min lille hjerne, derfor vil jeg gerne have både et eksempel på en udregning omkring invers funktion, og jeg vil også gerne have denne funktion udregnet:
f(x)=2x+3. Hvordan udregner jeg dens inverse funktion?
f(x)=2x+3. Hvordan udregner jeg dens inverse funktion?
Svar #1
29. oktober 2005 af fixer (Slettet)
Først må man om funktionen f:R->R naturligvis overbevise sig om at den er bijektiv, altså både surjektiv og injektiv.
Først lidt terminologi. Vi siger om en funktion f:A->B at den afbilder elementer beliggende i A over i elementer beliggende i B. Vi siger at et element y E B er billedet af et punkt x E A hvis der gælder at y=f(x).
At en funktion f:A->B er surjektiv betyder at definitionsmængden A afbildes p å B. Dermed menes at ethvert element, y, i B er billedet af et element, x, i A, altså at y=f(x). Vi skriver også at f(A)=B. Visse billedelementer y E B kan godt være billedet af mere end eet element i A.
At funktion er injektiv (eller enentydig) betyder at et element y i B er billedet af højst eet element x i A. Der kan altså godt være elementer i B der ikke er billeder af elementer i A. Der kan derimod ikke være elementer i A der afbildes i samme element i B. En funktion er derfor injektiv dersom der for vilkårlige x1 E A og x2 E A gælder at
x1 != x1 => f(x1) != f(x2)
Såfremt en funktion f er både surjektiv og injektiv siges den at være bijektiv. Sammenholdes ovenstående definitioner ser vi at en funktion er bijektiv hvis og kun hvis ethvert y E B er billedet af netop eet x E A. En bijektiv funktion afbilder altså ethvert element x i A i præcist eet element i y i B og der er ingen elementer i A der afbildes i samme element i B.
Men det betyder jo at en bijektiv funktion f:A->B bestemmer en funktion af B på A, thi ethvert element y i B stammer fra eet unikt element x i A. Derfor kan vi danne en funktion der afbilder y i x. Denne funktion kaldes den omvendte (inverse) funktion til f og skrives f^(-1):B->A.
I det konkrete tilfælde kan du indledningsvis starte med at påvise at f er bijektiv.
Ved bestemmelsen af den omvendte funktion ledes man naturligt til at betragte følgende ækvivalens for bijektioner
y=f(x) <=> x=f^(-1)(y)
Idet
y=f(x)=2x+3
skal vi alstå søge istedet at udtrykke x ved y.
f(x) = y = 2x+3 <=>
x = (y-3)/2 = f^(-1)(y)
Først lidt terminologi. Vi siger om en funktion f:A->B at den afbilder elementer beliggende i A over i elementer beliggende i B. Vi siger at et element y E B er billedet af et punkt x E A hvis der gælder at y=f(x).
At en funktion f:A->B er surjektiv betyder at definitionsmængden A afbildes p å B. Dermed menes at ethvert element, y, i B er billedet af et element, x, i A, altså at y=f(x). Vi skriver også at f(A)=B. Visse billedelementer y E B kan godt være billedet af mere end eet element i A.
At funktion er injektiv (eller enentydig) betyder at et element y i B er billedet af højst eet element x i A. Der kan altså godt være elementer i B der ikke er billeder af elementer i A. Der kan derimod ikke være elementer i A der afbildes i samme element i B. En funktion er derfor injektiv dersom der for vilkårlige x1 E A og x2 E A gælder at
x1 != x1 => f(x1) != f(x2)
Såfremt en funktion f er både surjektiv og injektiv siges den at være bijektiv. Sammenholdes ovenstående definitioner ser vi at en funktion er bijektiv hvis og kun hvis ethvert y E B er billedet af netop eet x E A. En bijektiv funktion afbilder altså ethvert element x i A i præcist eet element i y i B og der er ingen elementer i A der afbildes i samme element i B.
Men det betyder jo at en bijektiv funktion f:A->B bestemmer en funktion af B på A, thi ethvert element y i B stammer fra eet unikt element x i A. Derfor kan vi danne en funktion der afbilder y i x. Denne funktion kaldes den omvendte (inverse) funktion til f og skrives f^(-1):B->A.
I det konkrete tilfælde kan du indledningsvis starte med at påvise at f er bijektiv.
Ved bestemmelsen af den omvendte funktion ledes man naturligt til at betragte følgende ækvivalens for bijektioner
y=f(x) <=> x=f^(-1)(y)
Idet
y=f(x)=2x+3
skal vi alstå søge istedet at udtrykke x ved y.
f(x) = y = 2x+3 <=>
x = (y-3)/2 = f^(-1)(y)
Skriv et svar til: Invers funktion.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.