vektoropgaver, trekant

Opgaven starter med "Tre punkter P og Q", men der er kun to punkter.

Sammen med begyndelsespunktet O danner de to punkter en trekant OPQ.

a) Beregn trekantens areal. Beregn arealet af den af vektorerne OP og OQ udspændte trekant. Det er et udtryk i t, og man skal så bestemme t, så arealet er lig med 10. Benyt determinantformlen.

b) Bestem længderne |OP|, |OQ| og |PQ| og vis, at to af dem er lige store for alle værdier af t.

c) Varier t, så den ligebenede trekant også bliver retvinklet, dvfs. så de to relevante vektorer står vinkelret på hinanden.

#1 I forhold til a, hvordan kan jeg så opstille en formel for trekantens areal?

#2

Trekanten udspændes af de to vektorer OP og OQ. Dens areal er da

T = (1/2)·|det(OP,OQ)|

Indsæt vektorenes komponenter udtrykt ved t, beregn determinanten, og beregn så trekantens areal udtrykt ved t.

Lav en tegning af trekanten

0=(0,0)  P=(t , (0,25t²+1))  Q=(t , (- 0,25t²-1))  midten af PQ kaldes M = (t,0)

a) A=½h*g = ½ |PQ| *|OM|

b) hvis trekanten er ligebenet er |OP|=|OQ|

  | OP|= √( (t-0)²+ [(0,25t²+1)-(- 0,25t2-1)]²) reducer og beregn OQ på samme måde. Sammenlign resultaterne.

c) Hvis trekanten skal være retvinklet skal vinkelen mellem x-aksen og OP være 45º

 Dette betyder at 1. og 2. koordinaterne for P skal være lige store og dermed

t=0,25t²+1 find t af ligningen

#4

Dit udtryk for |OP| under b) er ikke korrekt. Du har blandet punktet Q's y-koordinat ind i udtrykket.

#0

1) (på opfordring)

Arealet af trekant OPQ er

T = (1/2)·|det(OP,OQ)| = (1/2)·|2t·(0,25t² + 1)| = |t·(0,25t² + 1)|

Man skal så løse ligningen

|t·(0,25t² + 1)| = 10 , dvs.

t³ + 4t -40 = 0 , t > 0,

der har den eneste reelle rod t = 3,03196045538564 .

Altså jeg får både en negativ og positiv rod men det er vel kun den positive man bruger, ikke?

#7

3.-gradsligningen i #6 er egentlig en ligning i |t| og derfor er t = -3,03196045538564  også en løsning.

Men svaret er kun den positive rod, ikke?

#8

Nej, begge værdier for t frembringer en trekant med arealet 10 , med mindre det er forudsat, at t skal være > 0.

c) Det er klart, at det er de to ben OP og OQ, der er de lige store ben i trekanten. Hvis trekanten skal være både ligebenet og retvinklet, skal de to vektorer OP og OQ stå vinkelret på hinanden, så man skal løse ligningen

OP • OQ = 0 , dvs

t² - (0,25t² + 1)² = 0 ,

dvs

(t+0,25t² +1)·(t -(0,25t²+1)) = 0 ,

der via nulreglen spaltes i de to 2.-gradsligninger

t² +4t +4 = 0 ∨ t² -4t +4 = 0 , dvs

(t+2)² = 0 ∨ (t-2)² = 0

b) At trekanten OPQ er ligebenet ses af, at punkterne P og Q ligger symmetrisk omkring x-aksen. Punkterne (x,y) og (x,-y) har samme afstand til begyndelsespunktet (0,0) .