Differentialligning 3.

Det er ikke den fuldstændige løsning.

Løsningen til den homogene ligning er

y_h = c₁·e^-x + c₂·x·e^-x

og en partikulærløsning til den inhomogene ligning er

y_p = (e^x + e^-x)/4

Man tilpasser så c₁ og c₂, så begyndelsesbetingelserne er opfyldt, dvs

c₁ = 1/2 , c₂ = -1/2

og får så

y = y_h + y_p = (3/4)e^-x + (1/2)x·e^-x + (1/4)e^x

Må jeg spørge hvordan du kommer frem til y_p.

Er det ved at bruge Ax+b og differentiere denne -> substituere osv?

#2

Nej, man prøver sig frem. Man ser, at forslag (6) tilfredsstiller den homogene ligning, og at forslag (2) revideret til e^-x + e^x giver 4e^x ved indsættelse i differentialligningens venstreside.
Heraf ser man, at (e^-x + e^x)/4 tilfredsstiller hele differentialligningen.

Det er sådan set tilstrækkeligt blot at undersøge de givne forslag. Man kan hurtigt udelukke (1) og (4). Ved hurtig beregning ser man, at den fuldstændige homogene løsning indeholder de to funktioner i (6), mens (2) indsat giver noget proportionalt med ligningens højreside. (5) kan så udelukkes, da man ikke kan få konstanten 1 frem ved kombination. Tilbage er så (3), som vi har vist ovenfor at være den korrekte løsning.

#3

ja, jeg kan godt se det nu, de andre opfylder ikke engang homegene løsning. Kun (3) og (6) opfylder den homogene, og på (6) mangler y_p adderet.

#4

(3) opfylder ikke den homogene ligning, men derimod den inhomogene ligning.

Alle funktioner undtagen (4) opfylder begyndelsesbetingelserne.

(1/2)·("2") opfylder den inhomogene ligning, men ikke startbetingelserne

(3) opfylder både den inhomogene ligning samt startbetingelserne.

(1) og (4) og (5) opfylder hverken den homogene eller den inhomogene ligning.

(6) opfylder den homogene ligning.

Ja, det var det jeg mente:).  Tak for hjælpen igen. Jeg må lave flere sæt så der ikke er nogen usikkerhed imorgen.