Ligninger

Du har allerede fået hjælp til en lignende opgave. Prøv selv en gang.

Kan det så passe hvis:

x= Antal deltagere

y= Andel

I: 480=x*y

II: 480=(x+4)*(y-20)

x*y=(x+4)*(y-20)

xy=xy-20x+4y-80

20x=4y-80

5x=y-20

??

Ja, det er en fin start. Ligningerne I og II er korrekt opstillede, men når du "kobler" dem sammen får du ikke reduceret antallet af ubekendte, så du ender op med en ligning med to ubekendte.

Prøv i stedet at omskrive således:

    I: x = 480/y,

    II: x = 480/(y - 20) - 4.

Heraf følger det at

    480/y = 480/(y - 20) - 4.

Nu har du en ligning med en ubekendt. :-)

Antal personer = x

Andel = y

1: y = 480 / x

2: y - 20 = 480 / (x + 4)

Indsæt ligning 1 i 2.

480 / x - 20 = 480 / (x + 4)

480 - 20x = 480x / (x + 4)

(x + 4)(480 - 20x) = 480x

480x - 20x² +1920 - 80x = 480x

- 20x² +1920 - 80x = 0

- 20(x - 8)(x + 12) = 0

Ligningen løses til 8 og -12. Vi regner videre med 8 af åbenlyse grunde.

y = 480 / 8 = 60

Tekst:480kr deles lige mellem et vist antal personer. Hvis der havde været 4 personer mere, var den enkeltes antal blevet 20kr mindre. Hvor mange deltog i fordelingen?

Ligning I: x=480/y 

Ligning II: x=480/(y-20)-4    

Sammen: 480/y=480/(y-20)-4

y=480y-9600-1920

y=480y-7680
y+7680=480y
y-y+7680=480y-y
7680=479y
7680/479=479y/479
16=y
Kontrol
x=480/16
x=30

Er den ubekendte regnet rigtigt ud her?

I svar på #5: Nej, den ubekendte er desværre regnet forkert ud; det bør give y = 60 (og dermed x = 480/60 = 8) ligesom Sapfort får i #4. (Kontrol: 480/8 = 60 og 480/(8 + 4) = 480/12 = 40 = 60 - 20.)

Hvis du ganger med y(y - 20) på begge sider af ligningen

    480/y = 480/(y - 20) - 4,

så får du

    480(y - 20) = 480y - 4y(y - 20),

dvs.

    480y - 9600 = 480y - 4y² + 80y.

Træk 480y fra på begge sider og læg 9600 til på begge sider:

    -4y² + 80y + 9600 = 0.

Denne andengradsligning har løsningerne y = -40 og y = 60.

#5 Nej.

480 / y = 480 / (y - 20) - 4

480 / y = (480 - 4(y - 20)) / (y - 20)

480 / y = (560 - 4y) / (y - 20)

480 = y(560 - 4y) / (y - 20)

480(y - 20) = y(560 - 4y)

480y - 9600 = 560y - 4y²

4y² - 80y - 9600 = 0

4(y + 40)(y - 60) = 0

Løsningerne er altså 60 og minus 40.

I ligningen x = 480 / y, skal y være positivt for at give et positivt antal personer, så vi regner videre med 60.

x = 480 / 60 = 8