sfærisk geometri cos og sin beviser

Det hjælper jo ikke meget at vi bare skriver af efter teksten, så kan du ikke fortælle hvilken problemer du har med den

Meget kort beskrivelse om princippet

Man kan jo bruge hvilket koordinatsystem man vil og her anvendes et bekvemt et nemlig sådan at det ene hjørne C har kooordinaterne (0, 0),  A har førstekoordiaten 0. Sammenlign evt. med koordinatsystemet beskrevet tidligere i bogen.

Koordinaterne omskrives til almindelige 3-dimensionale koordinater med begyndelsespunkt i centrum af cirklen. Sammenhængen mellem de sfæriske og 3-dimensionale koordinater er angivet på foregående side

Han udregner nu skalarproduktet mellem OA og OB på 2 måder.

Den første: han bruger den almindelige formel for et skalarprodukt af 2 3-dimensionale vektorer på de fundne koordinater i det 3-dimensionale rum

Den anden: Han bruger reglen om at et skalarprodukt af 2 vektorer er lig med produktet af deres længde *cosinus af mellemliggende vinkel'

De 2 metoder skal selvfølgelig give samme resultat så ved at sætte lighedstegn mellem de fremkomne udtryk for han den ønskede formel

#2, jamen det er sådan set det hele jeg er lidt lost i.. Så en gennemgang af det hele vlle jeg håbe kunne hjælpe mig lidt emre

Så må du starte der hvor det første gang går galt og præcisere hvad du ikke kan forstå

For det første kan jeg ikke lige se hvorfor A og B har koordinaterne

sfæriske koordinator: 
A(0; (90grader - b)
B(C, 90grader - a)

Kan du evt. svare mig på det?

Se på buestykket, der går fra C gennem  A og ned til "ækvator". De har længden 90º. Buestykket fra A ned til ækvator har derfor længden 90º -b. Koordinatsystemet er valgt så A har x-koordinaten 0º

y-koordinaten for B kan findes på samme måde for A. x-koordinaten er C ifølge definitionen af koordinatsystemet

Jeg kan ikke se hvordan  vi får disse koordinater til stedvektorerne

vektor OA=(r sin b, 0, r cos b) og

vektor OB= (r sin a cos C, r sin a sin C, r cos a)                      

Jeg har fundet ud af dette nu! Men har dog brug for at få lidt hjæp til hvordan vi kommer frem til skalarproduktet

Jeg ved godt vi kan bruge. korodinater for vektor OA ogOB også beregne skalar.. (har du en formel til det når det foregår i rum??))

i mine papir står der:

OA •OB=(r*sin(b),0,r*cos(b))*(r*sin(a)*cos(C),r*sin(a)*sin(C),r*cos(a))

(er godt klar over det er koordinaterne som der er stillet op.. Står der gange imellem dem?

mit spørgsmål er så hvordan jeg kommer fra det, til der som du ser herunder.

vektor OA • vektor OB = r^2 sin(a) sin(b) cos(C) + r^2 cos(a) cos(b)

Skalarproduktet mellem 2 vektorer a=(x₁,y₁, z₁) og b = (x₂, y₂, z₂) er givet ved a·b = x₁*x₂+y₁*y₂ + z₁*z₂ altså næsten det samme som i det 2-dimensionale tilfælde

Ja men kan stadig ikke se hvordan jeg kommer fra:

OA •OB=(r*sin(b),0,r*cos(b))*(r*sin(a)*cos(C),r*sin(a)*sin(C),r*cos(a))

til 

vektor OA • vektor OB = r^2 sin(a) sin(b) cos(C) + r^2 cos(a) cos(b)

er det bare ved at sætte x,y og z ind i formlen for skalar? :-)

                              OA                       OB

x koordinat            r*sin(b)                 r*sin(a)*cos(C)

ykoordinat                0                        ligegyldig           

z kooordinat          r*cos(b)                r*cos(b)

Udregn produktet af koordinater og adder

okay tusinde tak, det prøver jeg lige :)

Det giver meget mening nu! ville du kunne hjælpe mig med at få styr på sinus relationen også?

kan du fortælle mig hvad der sker når jeg siger at:

cos(c)=(r^2*sin(a)*sin(b)*cos(C)+r^2*cos(a)*cos(b))/r^2=cos(c)=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b)*cos(C)

Altså vi dividerer jo med r^2, også vil en r^2 over brøk stregen jo forsvinde.. men begge r^2 forsvinder... hvorfor det??

(x+y)/r² = x/r²+y/r²   her med x og y de noget længere led i din formel

Tusinde tak!! Det giver mening!!

kan du evt. hjælpe mig med dette i sinus relationen:

Grundrelationen cos2x + sin2x = 1 udnyttes i det følgende til at omskrive (9):

(1-sin^2A) sin^2b sin^2c               = (1-sin^2b)(1-sin^2c) + (1-sin^2a) - 2 cos a cos b cos c    (1)
<->

sin^2b sin^2c – sin^2A sin^2b sin^2c = 1 - sin^2c - sin^2b + sin^2b sin^2c+1- sin^2a - 2 cos a cos b cos c  (2)

<->

– sin^2A sin^2b sin^2c                   = 2 - sin^2c-sin^2b- sin^2a- 2 cos a cos b cos c    (3)

Jeg kan simpelthen ikke se hvordan jeg kommer fra 1 til 2 også til 3...

1->2    der er ganget ind i parentesen på venstre side. På højre side er produktet af de 2 parenteser ganget ud

2->3    sin²b*sin²c findes på begge sider af lighedstegnet. på højre sider er der 2 1'taller som er lagt sammen resten er uændret

#16

Det har du jo allerede fået forklaret i detaljer i din anden tråd.

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1420462