Ligning for tangentplan i kugle

Når kuglens ligning
er
             k:   (x-a)² + (y-b)² +(z-c)² = r²

har tangentplanen i
røringspunktet R(x_o,y_o,z_o)
ligningen

             t:   (x_o-a)(x-a) + (y_o-b)(y-b) + (z_o-c)(z-c) = r²
 

Forstår ikke helt?

Kan du vise det med et tal eksempel?

Du kan opgive en kugleligning og et røringspunkt.

Kan du ikke vise en?

hvor får du din anden ligning fra???

Når kuglecentrum er C(a,b,c), røringspunktet er R(x_o,y_o,z_o) og P(x,y,z) er et vilkårligt punkt i tangentplanen
haves, da radius står vinkelret på planen i røringspunktet, at CR er en normalvektor til planen.
Med R som fikspunkt i planen,
skal dennes punkter opfylde

                                                 CR • RP = 0

                               [x_o-a,y_o-b,z_o-c] • [x-x_o,y-y_o,z-z_o] = 0

                              (x_o-a)·(x-x_o) + (y_o-b)·(y-y_o) + (z_o-c)·(z-z_o) = 0

                              (x_o-a)·(x-a-x_o+a) + (y_o-b)·(y-b-y_o+b) + (z_o-c)·(z-c-z_o+c) = 0

                              (x_o-a)·((x-a)-(x_o-a)) + (y_o-b)·((y-b)-(y_o-b)) + (z_o-c)·((z-c)-(z_o-c)) = 0

                              (x_o-a)(x-a) - (x_o-a)² + (y_o-b)(y-b) - (y_o-b)² + (z_o-c)(z-c) - (z_o-c)² = 0

                              (x_o-a)(x-a) + (y_o-b)(y-b) + (z_o-c)(z-c) = (x_o-a)² + (y_o-b)² + (z_o-c)²

                   (x_o-a)(x-a) + (y_o-b)(y-b) + (z_o-c)(z-c) = r²