Matematik
Ulighed og elasticitet
Hej studieportalen,
Jeg sidder fast i to spørgsmål, og det ville være dejligt, hvis I kunne hjælp mig. Jeg har ikke ligefrem en ide om, hvordan man gør.
1. For ethvert y∈[0,∞[ skal man løse uligheden f(x)>y.
2. Bestem for ethvert x∈]0,1[ elasticiteten Elxf(x).
Svar #1
14. november 2013 af lfdahl (Slettet)
1. For et givet y skal du løse uligheden f(x) > y, d.v.s. bestemme mængden af de x, der opfylder uligheden for fast/givet y.
2. Elasticiteten er defineret ved: Elxf(x) = x f'(x)/f(x).
Det ville være mere illustrativt, hvis du havde angivet en eksplicit forskrift for f.
Se f.eks. tråden: https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=915036
Svar #2
14. november 2013 af Jacob12345678910 (Slettet)
Forskriften er: f(x)=1/1-√x
Jeg ved bare ikke, hvordan man skal løse en ulighed..
Svar #3
14. november 2013 af lfdahl (Slettet)
Svar #4
14. november 2013 af Jacob12345678910 (Slettet)
Det er også meget fint, men jeg forstår det bare ikke rigtig mellemregningerne
Svar #5
14. november 2013 af Jacob12345678910 (Slettet)
Er der ikke nogen som kan forklare uligheden i ord, altså hvordan man gør, så man bedre kan forstå det? :)
Svar #6
14. november 2013 af lfdahl (Slettet)
Måske kan det hjælpe med flg.:
Udgangspunktet er: (1-√x)-1 > y, hvor x ∈ ]0;1[, og y ∈ [0;∞[.
For 0 < y ≤ 1 er uligheden klart opfyldt, fordi (1-√x)-1 > 1 for alle tilladte x.
Er du med så vidt?
Svar #7
14. november 2013 af Jacob12345678910 (Slettet)
Hvorfor er det (1-√x)-1 > y, når funktionen hedder 1/1-√x, og hvorfor x ∈ ]0;1[?
Svar #8
14. november 2013 af lfdahl (Slettet)
Fordi: 1/(1-√x) = (1-√x)-1
Jeg har benyttet notationen: 1/a = a-1
Det dur ikke, at x = 1, for så bliver nævneren 0.
Det er sandt at x = 0 er tilladt. Jeg husker forkert fra den tidligere tråd...
x ∈ [0;1[
Svar #9
14. november 2013 af Jacob12345678910 (Slettet)
Okay, hvorfor er uligheden klart opfyldt for 0 < y ≤ 1? går y ikke til uendelig..
Svar #10
14. november 2013 af lfdahl (Slettet)
Prøv at se på vedhæftede graf: f(x) = (1-√x)-1, hvor 0 ≤ x < 1
Og jo: y går mod uendelig, så vi skal løse uligheden for alle mulige y.
Men for 0 ≤ y < 1 er uligheden klart opfyldt, som du også kan se af figuren
Med andre ord: f(x) ≥ 1 for 0 ≤ x < 1
Svar #11
14. november 2013 af Jacob12345678910 (Slettet)
men ved 0 ≤ y < 1, så ved at se på grafen, så er y jo ikke mindre end 1?
Svar #12
14. november 2013 af lfdahl (Slettet)
Overvej funktionens værdimængde. Hvilke værdier kan f antage, når x nærmer sig 1 (x < 1)?
Der gælder: Vm(f) = [1;∞[. Uligheden skal undersøges for y ∈ [0;∞[.
Det er altså ikke nødvendigt at undersøge for de y der ligger i intervallet [0;1[
Svar #13
14. november 2013 af Jacob12345678910 (Slettet)
Det giver mening nu, hvad skal man bagefter gøre? Bare lige et spørgsmål, hvis uligheden skal undersøges for y ∈ [0;∞[., hvorfor skiver man så 0 ≤ y < 1?
Svar #14
14. november 2013 af lfdahl (Slettet)
Løs (1-√x)-1 > y, for y > 1 (for 0 ≤ y < 1 er der ikke noget at løse ...uligheden er opfyldt da)
Gang med (1-√x) på begge sider af uligheden:
1 > y(1-√x)
Del med y på begge sider:
y-1 > 1-√x
Læg √x til på begge sider og træk y-1 fra på begge sider:
√x > 1 - y-1
Kvadrér begge sider:
x > (1-y-1)2
Svar #15
14. november 2013 af Jacob12345678910 (Slettet)
Hvorfor bliver det 1 på venstre side, når man ganger med (1-√x)?
Svar #17
14. november 2013 af Jacob12345678910 (Slettet)
Svar #18
14. november 2013 af Jacob12345678910 (Slettet)
mht. elasticiteten kan så passe at man får x*(1/(2√x)(1-√x)2)/1/1-√x? Ved ikke rigtig, hvordan man reducerer det ned til noget kønnere
Svar #19
14. november 2013 af lfdahl (Slettet)
#17
Du skal kvadrere på begge sider, fordi du skal bestemme x-værdierne og ikke √x
Svar #20
14. november 2013 af lfdahl (Slettet)
#18
Vær omhyggelig med at bruge parenteser, hvor det er påkrævet.
f(x) = (1-√x)-1
Differentiation: f'(x) = (-1)(1-√x)-2(-1/2)(√x)-1
Hvis du anvender notationen: √x = x½ er det måske lidt mere overskueligt:
f'(x) = (-1)(1-x½)-2(-1/2)x-½ = (1/2)x-½(1-x½)-2
Heraf: Elxf(x) = x f'(x)/f(x) = x(1/2)x-½(1-x½)-2(1-x½)
= (1/2)x½(1-x½)