Matematik
Vis at F(x) er stamfunktion til f(x)
Vis at F(x) = 3x⋅ln(x) + 5x er stamfunktion til f(x) = 3⋅ln(x) + 8.
Jeg har siddet ret længe med denne opgave, og jeg mener at man kan vise det på to måder. Enten ved at vise at F'(x) = f(x) eller blot ved at integrere f(x), og se om resultatet stemmer overens med den stamfunktion de har angivet.
Mit problem er, at jeg hverken kan regne ud, hvordan man differentierer 3x⋅ln(x), og heller ikke hvordan man integrerer 3⋅ln(x) + 8.
Når jeg integrerer kommer jeg frem til det her:
∫3⋅ln(x) + 8 dx = 3 ∫ln(x) + 8 dx = 3(x⋅ ln(x) - x + 8x)
.... Jeg ved ikke, hvordan man skal gøre.
Svar #1
22. november 2013 af Walras
Brug produktreglen
(f(x)*g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
F'(x)=3*ln(x)+3x*1/x+5=3ln(x)+3+5=3ln(x)+8=f(x)
Svar #2
22. november 2013 af Andersen11 (Slettet)
Det simpleste er at benytte
F(x) er en stamfunktion til f(x) ⇔ F '(x) = f(x)
Differentier funktionen F(x) ved at benytte reglen om differentiation af et produkt:
F(x) = 3x·ln(x) + 5x ,
F '(x) = (3x)'·ln(x) + 3x·(ln(x))' + (5x)' = ...
Hvis du i stedet integrerer f(x) = 3·ln(x) + 8 , skal det gøres rigtigt
∫ (3·ln(x) + 8) dx = 3·(x·ln(x) -x) + 8x = 3x·ln(x) + 5x
Svar #3
22. november 2013 af Walras
Du kan også se, at
∫ln(x)dx=xln(x)-x
idet
(xln(x)-x)'=1*ln(x)+x*1/x+1=ln(x),
hvor produktreglen igen er brugt.
Svar #4
22. november 2013 af yassincaceres (Slettet)
#2
Produktreglen:
h(x) = f(x) · g(x) ⇒
h'(x) = f'(x) ·g(x) + f(x) · g'(x)
Vil det sige, at man altid blot kan dele faktorerne op, og lade dem stå som to funktioner?
I vores tilfælde:
h(x) = (3x) · ln(x)
h'(x) = (3x)' · ln(x) + (3x) · (ln(x))' = 3 · ln(x) + 3x · (1/x) = 3 · ln(x) + 3
F '(x) = h'(x) + (5x)' = 3 · ln(x) + 3 + (5x)' = 3 · ln(x) + 3 + 5 = 3 · ln(x) + 8.
Skriv et svar til: Vis at F(x) er stamfunktion til f(x)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.