Matematik

Bevis, at der for tal gælder...

10. november 2005 af Molle (Slettet)

Hej, jeg har følgende opgave, som jeg gerne vil have hjælp til:

"Bevis, at der for alle tal x,y [tilhører] R gælder, at
1/2((x^2)+(y^2)) ≥ xy

[tilhører] skal erstattes, af det tegn der angiver at noget tilhører en mængde. (Det ligner et E)

Jeg kan selvfølgelig isolere nul:

(1/2)*((x^2)+(y^2)) ≥ xy

2*(1/2)*((x^2+(y^2)) ≥ 2xy

(x^2)+(y^2)-2xy ≥ 0

(x+y)^2 ≥ 0

Men kan man kalde det et bevis?

Svar #1
10. november 2005 af Molle (Slettet)

Den kunne ikke lige finde ud af "[større end eller lig med]" tegnet erstattet med =/>

(1/2)*((x^2)+(y^2)) =/> xy

2*(1/2)*((x^2+(y^2)) =/> 2xy

(x^2)+(y^2)-2xy =/> 0

(x+y)^2 =/> 0

Brugbart svar (0)

Svar #2
10. november 2005 af Waterhouse (Slettet)

Det kan man godt - hvis du bare tilføjer lidt argumentation, om hvorfor (x+y)^2 altid er større end eller lig 0.

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. november 2005 af sigmund (Slettet)

Sidste linie skal lyde (x-y)^2 >= 0.
Ellers ser det ud som et rimeligt bevis for det ønskede, da vi jo ved at "noget" i anden altid er større end eller lig nul.

Brugbart svar (0)

Svar #4
10. november 2005 af sigmund (Slettet)

I forlængelse af #2 og #3: Du kunne evntuelt inkludere et bevis for at "minus gange minus" giver "plus".

Svar #5
10. november 2005 af Molle (Slettet)

#3 Jep, en mindre brøler.. Det dobbelte produkt er jo negativ.
#4 Ja, det kunne jeg.. Kender ikke til nogle, men prøver lige at søge på google.

Brugbart svar (0)

Svar #6
10. november 2005 af sigmund (Slettet)

Prøv og se http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.negxneg.html.

Svar #7
10. november 2005 af Molle (Slettet)

Tak for hjælpen.
Jeg skal vel bruge den nederste?

Brugbart svar (0)

Svar #8
10. november 2005 af sigmund (Slettet)

Ja, det ville jeg mene var den bedste.

Svar #9
10. november 2005 af Molle (Slettet)

Hvordan tror I facit skal angives i:
"Beskriv punktmængderne:"

M = {(x,y)|(4x^2)+(4y^2)-4x+16y+13=0}

Skal facit angives sådan:
M = {(x,y)|((x-1/2)^2)+(y+2)^2 = 1}

eller sådan:
Centrum(0,5;-2)
Radius = kvrod(1) = 1

Brugbart svar (0)

Svar #10
10. november 2005 af Epsilon (Slettet)

Man skal være varsom med den slags "baglæns bevisførelse". Til eksempel er dette:

(1/2)*(x^2 + y^2) >= xy =>

2*(1/2)*(x^2 + y^2) >= 2xy =>

x^2 + y^2 - 2xy >= 0 =>

(x-y)^2 >= 0

jo ikke et bevis for påstanden.

For alle x,y E R skal det vises, at

(1/2)(x^2 + y^2) >= xy

Vi skal have noget at arbejde ud fra, så vi vil anse ordningen og de grundlæggende regneregler for addition og multiplikation (og dermed specielt kvadratsætningerne) inden for R for velkendte. Specielt er

x^2 >= 0 for ethvert x E R (*)

Lad x og y være givet. Af kvadratsætningen

(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy

og (*) får vi

x^2 + y^2 - 2xy >= 0 =>

x^2 + y^2 >= 2xy =>

(1/2)(x^2 + y^2) >= xy

hvilket skulle vises. Hverken mere eller mindre.

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #11
10. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#9:
Der må ønskes en verbal beskrivelse af den eksplicit opskrevne punktmængde. Lad mig give et beslægtet eksempel:

N = {(x,y)| 2x^2 + 2y^2 - 4x + 8y + 5 = 0}

Vi ser, at

2x^2 + 2y^2 - 4x + 8y + 5 = 0 <=>

x^2 - 2x + y^2 + 4y = -5/2 <=>

(x-1)^2 - 1^2 + (y+2)^2 - 2^2 = -5/2 <=>

(x-1)^2 + (y+2)^2 = 5/2

hvilket viser, at punktmængden N er en cirkel med centrum C(1,-2) og radius r = sqrt(5/2).

//Epsilon

Svar #12
10. november 2005 af Molle (Slettet)

Jeg takker.
Dvs. at jeg skal gå den anden vej, end jeg gjorde i første omgang og ende med 1/2(x^2 + y^2)? Er det mere logisk?

Svar #13
10. november 2005 af Molle (Slettet)

Hvorfor er
(1/2)*(x^2 + y^2) >= xy =>

2*(1/2)*(x^2 + y^2) >= 2xy =>

x^2 + y^2 - 2xy >= 0 =>

(x-y)^2 >= 0

ikke et bevis for påstanden?

Hvor skulle jeg umiddelbart få de tal, du slynger ud fra uden at gå den anden vej først?

Brugbart svar (0)

Svar #14
10. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#12:
Ja, det er ganske enkelt det logisk korrekte. Udsagnet kan formuleres

\\-/ x,y E R: 1/2(x^2 + y^2) >= xy,

og målet er at _bevise_ dette.

\\-/ skal forestille en alkvantor (omvendt A); symbolet læses: "for alle".

#13:
At man ud fra

1/2(x^2 + y^2) >= xy (*)

via en kæde af implikationer (=>) udleder, at

(x-y)^2 >= 0 (**),

kort:

1/2(x^2 + y^2) >= xy => (x-y)^2 >= 0,

er _ikke_ noget argument for (*); vi viser (**) under den antagelse, at (*) gælder. Men vi skal bevise, at (*) gælder; dette kan, som i #10, gøres ud fra (**), som vides at være opfyldt for alle x,y E R.

Alt i alt får vi dermed vist, at

(*) <=> (**),

altså at udsagnene (*) og (**) faktisk er logisk ækvivalente ("ensbetydende").

//Epsilon

Skriv et svar til: Bevis, at der for tal gælder...

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.