Skrive om differentialligninger

Har nu prøvet at få skrevet noget ned. Er folk interesseret i at rette i det hvis jeg copy paster det herind?
Regner med at uploade det på siden, da jeg mener det kunne være til en god hjælp for andre, men så kræver det selvfølgelig også at det er rigtigt :)

Ja, sæt det bare ind her, så kan vi se på det.

Okay, der en del som I kan se. Jeg er ikke sikker på det jeg har skrevet og ellers må i godt tilføje ting hvis I synes der mangler noget.


"Differentialligninger er ligninger hvor vi kender forholdet mellem afledte funktioner og funktionen. Målet er at bestemme hvilken funktion der tilfredsstiller dette forhold.

Siden differentialligninger indeholder afledte funktion, bliver man nød til at bruge integration som en løsningsteknik. Altså prøve at arbejde baglæns og så komme frem til den originale funktion som altså gav den afledte.

Væksthastighed:

Den afledte funktion skriver vi som
y'= (dy)/(dx)

En type af differentialligninger er
(dy)/(dx) =a
Vi kan altså se at væksthastigheden er konstant.

For at løse sådan en differentialligning, skal man bare integrere den.
y= integral(a) dx = ax+c, c E R
En graf for denne type differentialligninger kunne se sådan her ud.
(en y'/y graf der er vandret)

Det vigtige man skal ligge mærke til, er at væksthastigheden forbliver konstant, selvom funktionsværdien bliver større.

Et eksempel, hvor man bruger denne differentialligningstype er fx i fysik. Der kan y' fx beskrive accelerationen af en bil. Hvis bilens acceleration er konstant vil den følge denne slags differentialligning. y vil beskrive farten og udfra forskriften for y, kan vi altså se at farten stiger ved konstant acceleration.

En anden type af differentialligninger er
y'=a*y
Vi kan her se at væksthastigheden ikke er konstant(væksthastighed = y'). Derfor kalder vi det istedet den relative væksthastighed.

Den fuldstndige lsning til denne slags differentialligninger er
y=c*(e)^(ax),c E R
Det er let udfra forskriften, at se at y er en ekspotiental funktion. Grafen for den relative væksthastighed kan altså se sdan her ud for en ekspotiental funktion.
(en y'/y graf der er vokser lineært)

En type differentialligninger kan være
y'=b - a*y
Som vi kan se minder den meget om differentialligningen ovenover. Væksthastigheden er heller ikke her konstant og kaldes derfor også for den relative væksthastighed. Den er dog her blot blevet forskudt.

Den fuldstndige løsning til denne slags differentialligninger er
y= (b)/(a) + c*(e)^(-ax), c E R
Det er igen let udfra forskriften, at se at y er en ekspotiental funktion. Grafen for den relavtive væksthastighed forskudt kan altså se sådan her ud for en ekspotiental funktion.
(en y'/y graf der er vokser lineært men som ligger længere op af y'-aksen)

Den sidste type differentialligninger er
y'=a*y(M - y) (kaldes en logistisk differentialligning)
M beskriver den størst mulige funktionsværdi.

Man kan altså se, at væksthastigheden er afhængig af størrelsen af funktionsværdien y. Væksthastigheden vil ikke være særlig stor for en lille funktionsværdi. Væksthastigheden vil dog heller ikke være stor for en stor funktionsværdi. Det viser sig at væksthastigheden vil være størst ved (M)/(2)

som altså også er vores toppunkt for denne type differentialligninger.
Den fuldstndige løsning for den logistiske differentialligning er
r.

y= (M)/(1 + c*(e)^(-aMx)) ,c E R

Grafen for den logistiske differentialligning, ser sdan her ud.
(en y'/y graf der er ligner en 'sur' parabel)"

Håber I vil kigge på det

Hej.

Jeg er lige ved at skrive en meget lignende opgave, så det ærger mig at der ikke er nogle svar på det du har skrevet her. Har du fået noget respons fra din lærer eller lignende siden, som kunne fortælle om det er korrekt det du har skrevet?