2. Ordens diff. ligning

 det indses at
                           når y = e^rx er en løsning til  y'' + ay' + by = 0
             gælder
                                 y' = r•e^rx

                                 y'' = r²•e^rx

             og
                                 r²•e^rx + a·r•e^rx + b·e^rx = 0
             hvoraf
             den karakteristiske ligning:

                                 r² + a·r + b = 0

                                 r = -(a/2) ± √((a/2)² - b)

i anvendelse:

                                 r² + 4·r + 5 = 0

                                 r = -(4/2) ± √((4/2)² - 5)

                                 r = -2 ± √(2² - 5)

                                 r = -2 ± √(-1)

                                 r = -2 ± i

                        y = e^-2x·(C₁·cos(x) + C₂·sin(x))

                 y(0) = e^-2·0·(C₁·cos(0) + C₂·sin(0)) = 4

                                   C₁ = 4

                    y = e^-2x·(4·cos(x) + C₂·sin(x))

.

                    y'(x) = -2e^-2x·(4·cos(x) + C₂·sin(x)) + e^-2x·(-4sin(x) + C₂·cos(x))

                    y'(0) = -2e^-2·0·(4·cos(0) + C₂·sin(0)) + e^-2·0·(-4·sin(0) + C₂·cos(0)) = 6

                               -2·(4·1 + 0) + 1·(-4·0 + C₂·1) = 6

                               -2·4 + C₂ = 6

                                C₂ = 14

konklusion:

                        y = e^-2x·(4·cos(x) + 14·sin(x))
 

Men hvad er den fysiske betydning af leddet ay'  ?

Du har bedt om hjælp
til løsning af
                                      y'' + 4y' + 5y = 0            ,         Hvor y(0) = 4 og y'(0) = 6

men intet nævnt om den fysiske sammenhæng, det skal indgå i.

Det må du undskylde.

Ville egentlig bare vide hvad den fysiske betydning af leddet ay' er i diff. ligningen y''+ay'+by=0

Troede bare at man kunne se det fra opgaven som jeg stillede op tidligere.

#4

Det bidrager med dæmpningfaktoren e^-2x  i løsningen.

…da
               y = e^-2x·(4·cos(x) + 14·sin(x))   =   √(4²+14²)•e^-2x•cos(x-1,2925) =

                       √(212) • exp(-2x) • sin(x+0,2783), som er

                       √(212) • sin(x+0,2783)       med dæmpningsfaktor  exp(-2x)