Matematik
Reduceret trappematrix (lineær algebra)
'Betragt 4x4 matricen: A =
-2 1 1 -2
1 -2 1 1
1 1 -2 1
1 1 1 4
Find samtlige relle løsninger til den lineære ligningssystem, hvor A*
x1 = 0
x2 = 0
x3 = 0
x4 = 0'
Jeg har fået opgivet et Maple-arbejdsark til at løse opgaven hvor der er blevet udført GaussianEliminanition (det er altså blevet til en reduceret trappematrix), hvor jeg får følgende:
-2 1 1 -2
0 -3/2 3/2 0
0 0 3 3
0 0 0 0
Mit spørgsmål ligger i, jeg har fået af vide at jeg matricen ikke har trin i søjle 4 og jeg derfor kan vælge x4 = t frit og jeg derudfra kan bestemme de 3 andre x'er. Jeg er vant til at have kigget på trappematricer, der er i Reduced Row Echelon Form, så jeg kan tydeligt kan se hvilke, der er pivot variables og hvilke der er frie variabler, idet de rækker med 1'taller, der står alene i sin søjle er pivot variables (jeg har brugt meget engelske videoer til lineær algebra, så derfor jeg bruger de termer). Men jeg kan ikke se hvorfor netop den fjerde søjle her bare kan sættes til at være fri?
På forhånd tak for hjælpen :)
Svar #3
28. december 2013 af peter lind
Hvis du skal løse ligningen A*x =y og x er givet så har du jo løsningen nemlig her x=0 hvilket også må betyde y=0
Svar #4
29. december 2013 af came (Slettet)
Okay, men mit spørgsmål ligger i at mange gange kommer jeg til at ende med en reduceret trappematrix, som ovenstående og ud fra den skal jeg kunne bestemme hvilke søjler, der er frie variabler. Jeg kan som sagt bare ikke se det hvis det ikke står i fuldkommen reduceret form (rref), og jeg har mine søjler hvor 1'taller står alene osv. Så f.eks. med følgende matrix, som er en reduceret trappematrix, hvordan ser jeg at det netop er x4 som er en fri variabel?
-2 1 1 -2
0 -3/2 3/2 0
0 0 3 3
0 0 0 0
Svar #5
29. december 2013 af peter lind
Jeg er ikke sikker på hvad du mener med fri variabel.
Hvis du skal løse ligningen Ax=y vil den sidste ligning være 0=y'4 Den har kun en løsning hvis y'4 = 0 Er den det kan du sætte x4 til hvad som helst
Jeg ved ikke hvad du mener med frie variabel
Hvis dy skal løse ligningen Ax=y vil den sidste ligning med y'4 som den resulterende højre side give 0=y'4.
Denne har kun en løsning hvis y'4=0
Jeg ved ikke hvad du mener med frie variabel.
Hvis du skal løse ligningen Ax=y foretager du en reduktion hvor den sidste ligning kommer til at hedde 0=y'4 hvor y'4 er den ændrede højre side. Denne har kun en løsning hvis y'4 =0. Er den det har ligningssystemet uendelig mange løsninger. Den normale måde at finde frem til løsningen er ved at finde x4 fra den sidste ligning; men her kan den altså være hvad som helst. Der er imidlertid ikke noget i vejen for at du sætter andre variable til at være vilkårligt. En åbenlys anden variabel er x3 som også kan sættes til hvad som helst. Du kan så selvfølgelig ikke samtidig sætte x4 til hvad som helst
Skriv et svar til: Reduceret trappematrix (lineær algebra)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.