Bestem arealet af M

f(x) = x • (k - x) =  -x² + kx ,  hvor k er et positivt tal (et koefficent)

F(x) = -¹/₃•x³ + ^k/₂•x² + c

Arealet M er 100, bestem da k, hvor grænserne er parablens nulpunkter x₁ og x₂

 ∫_x1^x2 f(x) dx = 100 ⇔

nulpunkterne kan beskrives/ udregnes ved diskrimantformlen. Vi ved allerede diskriminanten > 0, da den har to nulpunkter.

Dermed har vi

Så skal k bare isoleres ...

#1 er et bud jeg kommer med. Der kan sagtens forekomme fejl (eller forkert metode såfremt) eftersom jeg hurtigt har skrevet det ned i hånden. Det nemmeste ville selvfølgelig være at benytte et cas program. :-)

Forresten er opgave a korrekt.

f(x) = -x² + 10x ⇒ x₁ = 0 v  x₂ = 10

∫₀¹⁰ f(x) dx = F(10) - F(0) = 166,666...

#0: Bemærk desuden at f(x) = -x² + kx = 0 ⇔ x² = kx ⇒ x₁ = k  ∨  x₂ = 0.

Derfor kan løsningen i #1 forsimples til M = -(1/3)k³ + (k/2)k².

Og videre

M = -¹/₃ • k³ + ¹/₂ • k³ = 100 ⇔

0,1666... • k³ = 100 ⇔

k = 1,81712 •100^(1/3)

Rettelse til #4

M = -¹/₃ • k³ + ¹/₂ • k³ = 100 ⇔

¹/₆ • k³ = 100 ⇔

k = ³√600

= 2 • ³√(75)

:-)

#2 Tak!

Jeg må indrømme, at jeg ikke forstår jeres besvarelser af opgave b :/

og til #6 det forstår jeg overhovedet ikke! Hvor kommer det fra? :S

#0 og #7

Vedr. pkt. b).

f(x) = x(k-x), hvor k > 0. f´s graf er en parabel med grene nedad, med skæringspunkterne (y = 0): 

x = 0 og x = k.  

M´s areal er 100, hvorfor man får: 

Opgave a.Kan du ikke lige forklare, helt præcis, hvordan du kan få det til 167?? Og hvordan findes forskriften?

Hvis k = 10 så er funktionen defineret ved 

            f(x) = x(10 - x) = 10x - x²

Grænserne for punktmængden M er da givet ved skæringspunkterne mellem f(x) og x-aksen. Det vil sige løsningerne til ligningen 

            f(x) = 0   ⇔   x(10 - x) = 0    ⇔  x = 0 ∨  x = 10

Arealet af punktmængden M, som grafen for f(x) afgrænser med x-aksen, må da være givet ved 

     A(M) =  ∫₀¹⁰ f(x) dx = ... = 500/3 ≈ 166,666