Matematik
Kan forklare det her?
meget pædagogisk, nu har siddet med det i langtid. Billedet et vedhæftet
Svar #1
08. januar 2014 af Andersen11 (Slettet)
Funtionen g(x) er løsning til differentialligningen
dy/dx = (√y) / (x-1) , x > 1
med betingelsen g(2) = 9 .
Løs differentialligningen ved separation af de variable:
∫ (1/√y) dy = ∫ (1/(x-1)) dx , dvs
2·√y = ln(x-1) + c
Da y(2) = g(2) = 9 , har man
2·√9 = ln(2-1) + c , dvs. c = 6 . Altså har man
√y = (ln(x-1) + 6)/2 ,
og dermed
g(x) = y = (1/4)·(ln(x-1) + 6)2 , x > 1 .
Svar #2
08. januar 2014 af Chris2013 (Slettet)
Hvordan ved man at man skal bruge separation af variabel, fordi man laver funktionen til (1/(x-1)*√y?
Svar #5
08. januar 2014 af Andersen11 (Slettet)
#2
Højresiden i differentialligningen har formen f(y)·g(x) og kan derfor separeres.
Svar #6
08. januar 2014 af Chris2013 (Slettet)
Svar #7
08. januar 2014 af Andersen11 (Slettet)
#6
Det er jo det samme som i #1 og også i det vedlagte i #0.
Svar #8
08. januar 2014 af Chris2013 (Slettet)
Svar #10
08. januar 2014 af Chris2013 (Slettet)
Jamen altså haha, kan godt se det...:D Du skal ha' tusind tak for din hjælp!:)
Svar #11
08. januar 2014 af Chris2013 (Slettet)
Svar #12
08. januar 2014 af Chris2013 (Slettet)
Svar #13
08. januar 2014 af Andersen11 (Slettet)
#11, #12
Nej, der er ikke fejl i besvarelsen. Når man foretager integration ved substitution i et bestemt integral, skal grænserne jo ændres til den nye variable. Man beregner
-1∫2 x/(x2+1) dx
ved at benytte substitutionen t = x2 +1 , dt = 2x dx . Når x løber fra -1 til 2 , løber t fra 2 til 5.
Svar #14
09. januar 2014 af Chris2013 (Slettet)
Jeg har godt nok lært integration ved sub. men ikke at grænserne ændrede sig.. Har kigget i gymnasienoter, synes ikke jeg kan finde noget. Hvordan kan du se at t løber fra 2 til 5, præcis de tal. Jeg er kommet frem til -1∫2x/ x/t*1/2xdt. Kan ikke komme videre, og det er her grænserne ændrer sig i facitlisten
Svar #15
09. januar 2014 af Andersen11 (Slettet)
#14
Beregn t for x = -1: t = (-1)2+1 = 2, og beregn t for x = 2: t = 22+1 = 5.
Det er en utroligt dårlig skik at have både x og t i integralet samtidig. Det kan kun gå i fisk.
Med substitutionen t = x2 +1 , dt = 2x dx , og dermed x dx = (1/2) dt , har man så
-1∫2 x/(x2+1) dx = 2∫5 (1/2)·(1/t) dt = (1/2)·[ ln(t) ]52 = (1/2)·(ln(5) - ln(2)) = (1/2)·ln(5/2) .
Svar #16
09. januar 2014 af Chris2013 (Slettet)
Svar #17
09. januar 2014 af Chris2013 (Slettet)
hvordan får du den her dermed x dx = (1/2) dt fra dt = 2x dx, hvor bliver x'et af?
Svar #18
09. januar 2014 af Andersen11 (Slettet)
#16
Jo, man kan substituere tilbage igen og derved beholde de gamle grænser, der hørte til variablen x, men så er det vel også klart, at man lige så godt kan beholde den substituerede variabel t med de grænser, der hører til den variable t.
Svar #19
09. januar 2014 af Andersen11 (Slettet)
I forbindelse med integration ved substitution drejer det sig om at beregne et integral af formen
a∫b f(g(x)) · g'(x) dx .
Der foretages substitutionen t = g(x), dt = g'(x) dx , og integralet bliver da
a∫b f(g(x)) · g'(x) dx = g(a)∫g(b) f(t) dt .
Kender man en stamfunktion F(t) til f(t) har man så
a∫b f(g(x)) · g'(x) dx = g(a)∫g(b) f(t) dt = F(g(b)) - F(g(a)) .
Man kan så vælge, om man vil indsætte grænserne g(a) og g(b) i stamfunktionen F(t), eller grænserne a og b i den "sammensatte stamfunktion" (F o g)(x) .
Svar #20
09. januar 2014 af Chris2013 (Slettet)
Aha, jeg forstår det tror jeg.. mangler lige det her dt = 2x dx så isolerer vi dx, og får dx=dt/2x= 1/2x* dt, så vælger du kun at gå videre med 1/2*dt, og så taber jeg tråden...:(