Komplekse tal (potensopløftning)

                 50π/6
tilhører samme restklasse
som
                mod(50π/6,2π) = (2π/6) = (π/3)

#1

Okay, du bruger et begreb jeg ikke har hørt før - "restklasse". Hvad er det? Og hvordan læses "mod(50π/6,2π)"?

Du mener formodentlig (r*e^iφ)ⁿ = rⁿ*e^inφ.

1) Det er fordi resultatet bliver flertydigt. Tag bare kvadratroden altså opløftet i potensen ½ for naturlige tal. Det giver faktisk 2 mulige løsninger på det nemlig en positiv og en negativ. I dette tilfælde løser man problemet ved at sige at det er den positive del der er roden. Hvis det drejer sig om komplekse tal bliver der mange flere muligheder. Det bliver helt uoverskueligt.

2) 50π/6 = 4*(2π) + 2π/6. Der kan ikke skelnes mellem φ og φ+2nπ, hvilket også er grunden til problemerne i 1).   Jeg kan ikke se hvad den sidste har med sagen at gøre

To vinkler φ₁ og φ₂ svarer til samme retningspunkt på enhedscirklen, hvis forskellen (φ₁ - φ₂) er et helt multiplum af 2π , dvs. hvis der findes et helt tal n , så at

φ₁ = φ₂ + 2π·n .

Man skrive dette ved hjælp af kongruensbegrebet:

φ₁ ≡ φ₂ (mod 2π)

#3

cis(φ)    er en hyppigt anvendt forkortelse for     cos(φ) + i·sin(φ) = e^iφ .

                φ₁ ≡ φ₂ (mod 2π)        læses: "φ₁ er kongruent med φ₂ modulo 2π"

#3

Nej, udtrykket er det som jeg har skrevet i #0, hvor cis(φ) = cos(φ) + isin(φ).

Jeg tror ikke helt, at jeg har forstået svaret på dit første spørgsmål om, hvorfor jeg ikke kan sætte f.eks. n = 3/4 eller et negativt tal? Kan man slet ikke løse det?

Til sidst skriver du, at der ikke kan skelnes forskel mellem φ og φ + 2nπ, dvs. 10π = 10π + 2 · 100 · π? Det her var også mere et generelt spørgsmål og har ikke noget med det første spørgsmål at gøre.

#4 - #6

Tak.

Du kan sagtens bruge negative tal. Brøker kan blive et problem i praksis. I tilfælde hvor man skal løse ligningen zⁿ = a hvor a er kompleks løser man den også i praksis ved  at bruge omskrivningen til polære koordinater og dividerer n op i φ. Man skal bare være omhyggelig med at  tage alle muligheder med.

#7

de Moivre's formel

(cos(φ) + i·sin(φ))ⁿ = cos(nφ) + i·sin(nφ)

(e^iφ)ⁿ = e^i·(nφ)

gælder i almindelighed kun for ikke-negative, heltallige eksponenter, fordi venstresiden for ikke-hele eksponenter kan antage flere værdier. Man kan dog generalisere den ved at sige, at for ikke-heltallige eksponenter, er højresiden en af de mulige værdier for venstresiden.

#9

Jeg prøver virkelig at forstå det, men kan du prøve at demonstrere det med et eksempel, hvad der sker, når n er ikke-heltallig og hvor n er negativ?

Det som kom bag på mig er, at der inde på wikipedia under "De Moivres formel" står, at n godt må være negativ, så længe n er heltallig:

http://da.wikipedia.org/wiki/De_Moivres_formel

#10

Hvis n er heltallig og positiv, har man

(cos(φ) + i·sin(φ))^-n = 1 / (cos(φ) + i·sin(φ))ⁿ = 1 / (cos(nφ) + i·sin(nφ))

                            = (cos(nφ) - i·sin(nφ)) / [(cos(nφ) + i·sin(nφ))·(cos(nφ) - i·sin(nφ))]

                            = (cos(nφ) - i·sin(nφ)) / [ cos²(nφ) + sin²(nφ) ]

                            = cos(nφ) - i·sin(nφ)

                            = cos(-nφ) + i·sin(-nφ)

#11

Dette er jo et bevis for, at man også kan bruge en negativ værdi af n, ikke?

#12

Jo, netop. Du var overrasket over dette i wiki-artiklen, så jeg gav et bevis for det.

#13

Godt.

Hvis n både må være positiv og/eller negativ, må det så være en brøk eller et decimaltal? Det er vel underordnet, hvordan n er skrevet op på? Fordi det ser ud som, at n for de nævnte tilfælde blot 'trækkes ned' og multipliceres med vinklen φ.

#14

Når n er ikke-heltallig, er zⁿ , hvor z er generelt kompleks, ikke entydigt defineret.

Hvis w er et komplekst tal, defineres w^1/2 som løsningerne i ligningen z² = w .

Hvis n er ikke-heltallig, vil cos(nφ) + i·sin(nφ) være et af de komplekse tal, der er tilordnet
(cos(φ) + i·sin(φ))ⁿ , men man kan ikke længere sætte lighedstegn mellem de to størrelser.

#15

Det lyder som, at man slet ikke kan løse det, så snart n er ikke-heltallig. Hvad gør man så?