Vektorer - Bevis

Det formodes, at de to højder går fra A på OB, og fra B på OA .

Da er PA parallel med højden på OB, så

PA • OB = 0

og PB er parallel med højden på OA, så

PB • OA = 0 .

Man ser, at OP + PA = OA , og OP + PB = OB .

Indsæt nu de forenklede vektorbetegnelser.

Mange tak. 

Jeg har problemer med at lave c og d. 

c.: skal jeg skrive de koordinater, man bruger til at beregne prikproduktet?

d: Her ved jeg overholdet ikke, hvilken sætning der er tale om. 

#2

Man har, at

PA = OA - OP = a - p , og PB = OB - OP = b - p .

b) Da PA • OB = PA • b = 0 , er (a - p) • b = 0 .

c) Tilsvarende ses, at (b - p) • a = PB • a = PB • OA = 0 .

#2

Af (a - p) • b = 0 og (b - p) • a = 0 , følger det, at

a • b = p • b = p • a , dvs.

p • (b - a) = 0 .

Vektoren p er vektoren OP , og vektoren b - a = OB - OA = AB .

Linien fra O gennem de to andre højders skæringspunkt P står vinkelret på den modstående side AB, og linien OP ligger derfor på højden fra O på AB. Dermed er vist, at alle tre højder i en trekant skærer hinanden i samme punkt.

Mange tak!