Matematik

Bestem samtlige løsninger - komplekse tal

01. februar 2014 af mrs10 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej,

Lad Z0 betegne det komplekse tal ei*π/9

Bestem det komplekse tal w=z03 i både polære og kartesiske koordinater

Der har jeg fået de polære til at være r=1, θ=π/3

De kartesiske er cos(π/3)+i*sin(π/3)

Nu skal jeg så bestemme samtlige løsninger z∈C til ligningen z3=w

Men jeg er helt lost, jeg aner ikke hvordan man skal bære sig ad?

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

Skriv det ordentligt op

z₀ = e^i·π/9 .

Ja, så er

w = z₀³ = (e^i·π/9)³ = e^(i·π/9)·3 = e^i·π/3 = cos(π/3) + i·sin(π/3) .

Udtryk cos(π/3) og sin(π/3) ved kendte talkonstanter.

Løs så ligningen

z³ = w = z₀³ , dvs.

(z/z₀)³ = 1 .

Så er

z/z₀ = e^i·p·2π/3 , p = 0, 1, 2

Svar #2
01. februar 2014 af mrs10 (Slettet)

Så der er altså 3 løsnigner,

e^i·0·2π/3,e^i·2π/3og e^i·4π/3?

Brugbart svar (0)

Svar #3
01. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

De tre løsninger til ligningen z³ = w er

z₀·e^i·0·2π/3 , z₀·e^i·1·2π/3 , z₀·e^i·2·2π/3 , dvs

z₀ , z₀·e^i·2π/3 , z₀·e^i·4π/3 , dvs

e^i·π/9 , e^i·7π/9 , e^i·13π/9

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. juni 2016 af kinke123 (Slettet)

til svar #1:

Hvordan går du fra (z/z_0)^3 =1

til z/z0 = ei·p·2π/3?

Brugbart svar (0)

Svar #5
16. juni 2016 af peter lind

1=e^2*p*π*i Den 3. rod får du ved at dividerer eksponenten med 3

Brugbart svar (0)

Svar #6
16. juni 2016 af VandalS

Hvis du skal løse w^3=1 , hvor er et komplekst tal, kan du gøre det ved at benytte at

|w|^3 = 1 => |w| = 1 og finde de hovedargumenter der opfylder at

$arg(w^3)=3\cdot arg(w) = arg(1) = 2p\pi, p\in \mathbb{Z}$ , som har de tre løsninger

$arg(w) = 0 \lor arg(w) = \frac{2\pi}{3} \lor arg(w) = \frac{4\pi}{3}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
16. juni 2016 af kinke123 (Slettet)

Ja okay.

Forstår det bedre nu! Tak.

Skriv et svar til: Bestem samtlige løsninger - komplekse tal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.