Differentiation af vektor

Her er der tale om en vektor P multipliceret med en skalar u, hvor både vektoren P og skalaren u er funktioner af t.

#1

Så en skalar kan altså godt være en funktion af en variabel. Jeg troede, at det kun var et tal.

#2

Hvorfor skulle man ikke kunne multiplicere en vektor med en skalar, der er en funktion af noget andet? For hver værdi af t er u(t) et bestemt tal, en skalar, der multipliceres med den bestemte vektor P(t) .

#3

Ja, okay. Tak.

#3

Et tillægsspørgsmål:

Jeg har en forskydningsfunktion v₁(x₁,x₂), der giver forskydningen af et punkt vandret og en anden forskydningsfunktion v₂(x₁,x₂), der giver forskydningen lodret. Hvad er det helt præcist man finder ved at differentiere f.eks. v₁ mht. x₁ eller x₂? Man kalder det for gradient, men hvad fortæller tallet os?

(OBS: der er brugt et koordinatsystem med akserne x₁ og x₂)

#5

Gradienten ∇v₁ er en vektor, der i det væsentlige peger i den retning, hvor funktionen v₁ ændres hurtigst i omegnen omkring (x₁,x₂) . I denne omegn er gradienten normal til niveaukurverne.

#6

Det synes jeg ikke, at jeg blev klogere på. Se figuren:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/1.jpg

Hvis f.eks. v₁(x₁,x₂) = 0,5 + 0,2x₁ + 0,3x₂,

så ∂v₁/∂x₁ = 0,2. Hvad fortæller tallet 0,2 om?

#7

Jeg har ikke mulighed for at se dit dokument.

Gradienten er vektoren ∇v₁ = [0,2;0,3] . Funktionen v₁ vokser hurtigst, hvis man fra punktet (x₁;x₂) bevæger sig i gradientens retning.

En flade (x,y,z) med ligningen z = v₁(x,y) har i punktet (x,y,v₁(x,y)) en tangentplan med normalvektor

(-∂v₁/∂x , -∂v₁/∂y , 1)

#8

Jeg har et punkt (x₁,x₂) = (1,0) som flytter til (1,7;0,8). Forskydningsværdien er da (0,7;0,8).

Ved at indsætte (1,0) i forskydningsfunktionen i #7, får man også 0,7 - altså førstekoordinaten. På samme måde kunne man også gøre med at finde den anden koordinat vha. den tilhørende forskydningsfunktion v₂.

Kan du prøve at sige, hvad gradienten har af betydning i forhold til mit tilfælde?

#9

Jeg har allerede forklaret betydningen af gradienten ovenfor.

Din funktion v₁(x₁,x₂) = 0,5 + 0,2x₁ + 0,3x₂, fremstiller ligningen for en plan i (x₁,x₂,v₁)-rummet.

#10

Okay, tak.
 

#10

Hvordan kan jeg eliminere tiden t for funktionerne x = f₁(t) og y = f₂(t), når følgende er kendte størrelser:

v_x = (v_x)₀

v_y = (v_y)₀ - gt

x = x₀ + (v_x)₀t

y = y₀ + (v_y)₀t - 1/2gt²?

Resultatet er: v_y² = (v_y)₀² - 2g(y - y₀)

Hvad har man gjort?

#12

Man kvadrerer

v_y = (v_y)₀ - gt

til

v_y² = (v_y)₀² + g²t² - 2(v_y)₀gt

     = (v_y)₀² + 2g·((1/2)gt² -(v_y)₀t)

     = (v_y)₀² + 2g·(y₀ - y)

#13

Det er rigtigt.
Kan jeg ikke isolere y som en funktion af x (bare uden tidsenhed)?

#13

Problemet er løst.