Matematik

hjælp til inhomogen ligning

23. februar 2014 af jwan20 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

har brug for hjælp til at forstå følgende inhomogen ligning

der er angivet et eksempel i min bog hvor der ønskes at bestemme den fuldstændig reelle løsning til diff. ligningen y2+2y+y=cos(2t)

samt finde den løsning for hvilken y(0)=y^´(0)=1 der står at der vil benytte gættemetoden hvor man sætter

y(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)

så er

y´(t)= -2Asin(2t)+2Bcos(2t)

y´´(t)= -4Acos(2t)+4Bsin(2t)

ved indsættelse i diff. ligningen fåes -4Acos(2t)+4Bsin(2t)+2(-2Asin(2t)+2Bcos(2t))+Acos(2t)+Bsin(2t)=cos(2t)

det omformes til (-3A+4B)cos(2t)+(-4A-3B)sin(2t)=cos(2t)

ved at sammenligne koefficienterne til cos(2t) og sin(2t) på højresiden og venstreside ses at ligningen er opfyldt hvis -3A+4B= 1 og -4A-3B=0

så står der at løsningen hertil er A=-3/25, B=4/25

mit spørgsmål er hvordan kommer man fremtil løsningerne ????

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. februar 2014 af mathon

notationen

y2+2y+y=cos(2t) må være forkert.

Svar #2
23. februar 2014 af jwan20 (Slettet)

undskyld mente y^2+2y+y=cos(2t)

altså i bogen står d^2y/dt^2+2dy/dt +y =cos(2t)

Brugbart svar (0)

Svar #3
23. februar 2014 af mathon

y² + 3y = cos(2t) er ikke en differentialligning.

Svar #4
23. februar 2014 af jwan20 (Slettet)

ved ikke men i bogen står der

vi ønsker at bestemme den fuldstændig reelle løsning til differentialligningen d^2y/dt^2+2dy/dt +y =cos(2t)

Svar #5
23. februar 2014 af jwan20 (Slettet)

nogen der vil hjælpe?? på forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #6
23. februar 2014 af mathon

Det var noget andet

                     Hvis en gættet løsning er

                                  y = Acos(2t) + Bsin(2t)
                     er
                                 2dy/dt = -4A·sin(2t) + 4B·cos(2t)

d²y/dt² = -4A·cos(2t) - 4B·sin(2t) = -4·(A·cos(2t) + B·sin(2t)) = -4y

hvoraf
d²y/dt² + 2dy/dt + y = -4A·cos(2t) - 4B·sin(2t) - 4A·sin(2t) + 4B·cos(2t) + Acos(2t) + Bsin(2t)

(-4A + 4B + A)cos(2t) + (-4B - 4A + B)sin(2t) =

(4B - 3A)cos(2t) - (3B + 4A)sin(2t)

       opfyldelse af ligningen
                                                         (4B - 3A)cos(2t) - (3B + 4A)sin(2t) = cos(2t)
       kræver:
                                                         3B + 4A = 0   og   4B - 3A = 1
                                         hvoraf
                                                          A = -(3/25)   og   B = (4/25)

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. februar 2014 af mathon

detaljer i løsning af to førstegradsligninger med to ubekendte:

I: 4A + 3B = 0 I multipliceres med 3 og kaldes III
II: -3A + 4B = 1 II multipliceres med 4 og kaldes IV

III: 12A + 9B = 0
IV: -12A + 16B = 4 III og IV adderes

25B = 4

B = (4/25) som indsat i I: giver

4A + 3·(4/25) = 0

4A + (12/25) = 0

A + (3/25) = 0

A = -(3/25)

hvorfor
   y(t) = -(3/25)cos(2t) + (4/25)sin(2t) er en løsning
til
                                       d²y/dt² + 2dy/dt + y = cos(2t)

Brugbart svar (0)

Svar #8
23. februar 2014 af mathon

Det kan bevises, at d²y/dt² + 2dy/dt + y = cos(2t) kun har løsningen

                                      y(t) = -(3/25)cos(2t) + (4/25)sin(2t)
   evt. omskrevet til
                                      y(t) = 0,2·cos(2t + 0,9273)

Svar #9
23. februar 2014 af jwan20 (Slettet)

hvordan kommer man fra (4B - 3A)cos(2t) - (3B + 4A)sin(2t) = cos(2t)
TIl : 3B + 4A = 0 og 4B - 3A = 1

hvad gør man af cos og sin ?

Brugbart svar (0)

Svar #10
23. februar 2014 af mathon

(4B - 3A)cos(2t) - (3B + 4A)sin(2t) = cos(2t)

      indeholder ikke noget sin(2t)-led på højre side.
      Altså skal
                                 3B + 4A = 0

      På højre side er kun cos(2t) = 1 • cos(2t)
      Altså skal
                       (4B - 3A)cos(2t) = 1 • cos(2t)
      hvoraf
                       4B - 3A = 1

Skriv et svar til: hjælp til inhomogen ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.