Matematik

differentialligning af 2. orden?

05. marts 2014 af Amril (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej. Jeg har anden afledt af y = konstant^2 * y.

Jeg ved, at løsningen har formen Y = ae^kx + be^-kx

Hvis jeg har punkterne y af x1 = y1 og y ' af x2 = y2, hvordan finder man løsningen?

Det giver ikke rigtig mening for mig, da jeg ikke ved hvordan man finder både a og b på samme tid for at finde den specifikke løsning?

Normalt ville jeg gøre følgende:

y" = f(x). integrer f(x) to gange, og erstat derefter x i y med x1 og find den ene konstant, og derefter erstat x i y' med x2, og find den anden konstant, og indsæt dem i y. Jeg forstår bare ikke hvordan denne metode skal anvendes til at løse ovenståend, da jeg ikke kan forstår A og B.

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

Benyt de to oplysninger y(x₁) = y₁ og y'(x₂) = y₂ til at bestemme a og b i den fundne løsning:

Betingelsen y(x₁) = y₁ giver

y₁ = ae^kx₁ + be^-kx₁

Differentier løsningen y(x) og indsæt den anden betingelse, hvorved man har to ligninger til bestemmelse af a og b.

Undlad at bruge store og små bogstaver i flæng om de samme størrelser.

Brugbart svar (0)

Svar #2
05. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

Der er tale om en differentialligning af formen y'' = k²·y , ikke y'' = f(x) . Man finder først den generelle løsning til differentialligningen og benytter så de to betingelser til at bestemme integrationskonstanterne a og b.

Brugbart svar (0)

Svar #3
05. marts 2014 af mathon

du har

$\small \frac{\mathrm{d^2y} }{\mathrm{d} x^2}=k^2y$

$\small y=c_1\cdot e^{k\cdot x}+c_2\cdot e^{-k\cdot x}$

$\small \frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} x}=k\cdot c_1\cdot e^{k\cdot x}-k\cdot c_2\cdot e^{-k\cdot x} = k\left ( c_1\cdot e^{kx}-c_2\cdot e^{-kx}\right )$

Svar #4
05. marts 2014 af Amril (Slettet)

#1, Ja, jeg ved godt, at jeg har ligninger til at bestemme til a og b, jeg ved bare ikke, hvordan jeg skal finde frem til det.

y " = 16 * y

y " = 4^2 * y, dvs 4 er min konstant.

y(0) = 1, y'(0) = 2

y = ae^kx+ be-^kx

y(0) = ae^4*0+ be^-4*0= 1

y' = k * ae^kx- k * be^-kx

y'(0) = 4 * ae^4*0- 4*be^-4*0 = 2

Er ovenstående fremgangsmåde korrekt? Hvis nej, hvad gør jeg forkert, og hvis ja, jamen så ved jeg ikke hvad jeg skal gøre mere. Hvad videre skal jeg gøre for at finde a og b? Det er jo to ubekendte, så jeg kan jo ikke bare isolere det ene... eller hvad? Jeg er igang med selv at læse stoffet igennem, så har ingen lærer til at forklare det til mig.

Brugbart svar (1)

Svar #5
05. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

Ja, det er for så vidt korrekt. Det skal så bare forenkles.

Differentialligningen y'' = 16·y = 4²·y har så den generelle løsning

y = a·e^4x + b·e^-4x

og de to betingelser y(0) = 1 og y'(0) = 2 giver så de to ligninger

1 = a + b

2 = 4a - 4b

der er et lineært ligningssystem med to ligninger i de to ubekendte a og b .

Svar #6
05. marts 2014 af Amril (Slettet)

Ok, så jeg bruger substitutionsmetoden til at løse en helt almindelig ligning med to ubekendte?

Er svaret a = 3/4 og b = 1/4?

Brugbart svar (1)

Svar #7
05. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

Ja.

Svar #8
05. marts 2014 af Amril (Slettet)

Tak, har styr på det nu.

Skriv et svar til: differentialligning af 2. orden?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.