Matematik

Lineær førsteordens differentialligning

18. marts 2014 af yamaharacing (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har differentialligningen

y'(t) + 3t³· y(t) = -4t³

Hvordan finder jeg den fuldstændige løsning? Jeg har prøvet at anvende "Panserformlen", men jeg kan ikke få det resultat, som min lommeregner kommer frem til...

Tak på forhånd!

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

Vis din egen fremgangsmåde her.

p(t) = 3t³ , P(t) = ∫ p(t) dt = (3/4)t⁴

y(t) = e^{-(3/4)t^4} · (∫ e^{(3/4)t^4} · (-4t³) dt + c)

Benyt substitution for at regne integralet ud, u = (3/4)t⁴ , du = 3t³ dt , -4t³ dt = -(4/3) du .

Se evt. denne tråd https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1457584 for næsten den samme opgave.

Brugbart svar (0)

Svar #2
18. marts 2014 af mathon

$y(t)=e^{\frac{-3}{4}t^4}\cdot \left (\int_{0}e^{\frac{3}{4}t^4}\cdot \left ( -4t^3 \right )dt\: +\: C \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. marts 2014 af mathon

i det følgende medskrives integralindekset 0 ikke:

sæt
$u = \frac{3}{4}t^4$ og dermed $-\frac{4}{3}du = -4t^3dt$

$\int e^{\frac{3}{4}t^4}\left ( -4t^3 \right )dt = -\frac{4}{3}\int e^u du = -\frac{4}{3}e^u = -\frac{4}{3}e^{\frac{3}{4}t^4}$

Svar #4
18. marts 2014 af yamaharacing (Slettet)

y(t) = e^{-(3/4)t^4} · ∫ e^{(3/4)t^4} · (-4t³) dt

u = (3/4)t⁴

dt = 1/3t³du

y(t) = e^-u · (-4/3) · ∫ e^udu

y(t) = e^-u · (-4/3) · (e^u+ c)

y(t) = (-4/3) · (e^-u · e^u+ e^-u· c)

u = (3/4)t⁴=>

y(t) = (-4/3) · (1 + e^-^{(3/4)t^4)}· c) = -4/3 · e^-^{(3/4)t^4}· c

Nu får jeg det samme som lommeregneren - problemet var, at jeg glemte at gange med c (der hvor jeg har markeret med fed). Fedt. Tak! :)

Brugbart svar (0)

Svar #5
18. marts 2014 af mathon

$\large \large\ y(t) = C\cdot e^{-\frac{3}{4}t^4} - \frac{4}{3}$

Svar #6
18. marts 2014 af yamaharacing (Slettet)

Er det mere korrekt at skrive det sådan? Jeg er egentligt også i tvivl om, hvilke konstanter jeg skal skrive. Der fremkommer jo også konstant, når vi bestemmer P(t)?

Brugbart svar (0)

Svar #7
18. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det var forkert, som du skrev det til sidst i #4. Det første gangetegn efter det sidste lighedstegn skal ændres til et +.

Brugbart svar (0)

Svar #8
18. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

Nej, der skal ikke medtages nogen integrationskonstant i stamfunktionen P(t) .

Svar #9
18. marts 2014 af yamaharacing (Slettet)

#7 Ja, det kan jeg godt se nu - fejl-40 sent på aftenen... ;)

#8 Hvorfor ikke? Er det da ikke et ubestemt integral?

Hvorfor er det, at I lægger C til allerede i "(∫ e^{(3/4)t^4}· (-4t³) dt + c)"?

Brugbart svar (0)

Svar #10
18. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

En integrationskonstant i stamfunktionen P(t) er jo overflødig.

Integrationskonstanten kommer ind, der hvor vi har medtaget den i panserformlen.

Differentialligningen er

y'(t) + p(t)·y(t) = q(t)

med løsningen

y(t) = e^-P(t) · (∫e^P(t)·q(t) dt + c) ,

hvor P(t) = ∫ p(t) dt .

Svar #11
18. marts 2014 af yamaharacing (Slettet)

Super, mange tak for de fine svar!

Svar #12
18. marts 2014 af yamaharacing (Slettet)

#10

...og du mener vel

y'(t) + p(t) · y(t) = q(t)

ikke? ;)

... Velkommen i klubben!

Brugbart svar (0)

Svar #13
18. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

#12

Jo, tak skal du have. Jeg fik lige nået at korrigere indlægget.

Skriv et svar til: Lineær førsteordens differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.